Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlem1 Unicode version

Theorem dchrisumlem1 20470
 Description: Lemma for dchrisum 20473. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrisum.2
dchrisum.3
dchrisum.4
dchrisum.5
dchrisum.6
dchrisum.7
dchrisum.9
dchrisum.10 ..^ ..^
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem1 ..^
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem dchrisumlem1
StepHypRef Expression
1 fzodisj 10778 . . . . . 6 ..^ ..^
21a1i 12 . . . . 5 ..^ ..^
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . 10
43nnnn0d 9897 . . . . . . . . 9
54adantr 453 . . . . . . . 8
6 nn0re 9853 . . . . . . . . . . 11
76adantl 454 . . . . . . . . . 10
83adantr 453 . . . . . . . . . 10
97, 8nndivred 9674 . . . . . . . . 9
108nnrpd 10268 . . . . . . . . . 10
11 nn0ge0 9870 . . . . . . . . . . 11
1211adantl 454 . . . . . . . . . 10
137, 10, 12divge0d 10305 . . . . . . . . 9
14 flge0nn0 10826 . . . . . . . . 9
159, 13, 14syl2anc 645 . . . . . . . 8
165, 15nn0mulcld 9902 . . . . . . 7
17 flle 10809 . . . . . . . . 9
189, 17syl 17 . . . . . . . 8
19 reflcl 10806 . . . . . . . . . 10
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9
2120, 7, 10lemuldiv2d 10315 . . . . . . . 8
2218, 21mpbird 225 . . . . . . 7
23 fznn0 10729 . . . . . . . 8
2423adantl 454 . . . . . . 7
2516, 22, 24mpbir2and 893 . . . . . 6
26 fzosplit 10777 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^
2725, 26syl 17 . . . . 5 ..^ ..^ ..^
28 fzofi 10914 . . . . . 6 ..^
2928a1i 12 . . . . 5 ..^
30 rpvmasum.g . . . . . 6 DChr
31 rpvmasum.z . . . . . 6 ℤ/n
32 rpvmasum.d . . . . . 6
33 rpvmasum.l . . . . . 6 RHom
34 dchrisum.b . . . . . . 7
3534ad2antrr 709 . . . . . 6 ..^
36 elfzoelz 10753 . . . . . . 7 ..^
3736adantl 454 . . . . . 6 ..^
3830, 31, 32, 33, 35, 37dchrzrhcl 20316 . . . . 5 ..^
392, 27, 29, 38fsumsplit 12089 . . . 4 ..^ ..^ ..^
40 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . 12
4140oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
4241sumeq1d 12051 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
4342eqeq1d 2261 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
4443imbi2d 309 . . . . . . . 8 ..^ ..^
45 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . 12
4645oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
4746sumeq1d 12051 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
4847eqeq1d 2261 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
4948imbi2d 309 . . . . . . . 8 ..^ ..^
50 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . 12
5150oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
5251sumeq1d 12051 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
5352eqeq1d 2261 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
5453imbi2d 309 . . . . . . . 8 ..^ ..^
55 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . 12
5655oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
5756sumeq1d 12051 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
5857eqeq1d 2261 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
5958imbi2d 309 . . . . . . . 8 ..^ ..^
603nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . 13
6160mul01d 8891 . . . . . . . . . . . 12
6261oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
63 fzo0 10771 . . . . . . . . . . 11 ..^
6462, 63syl6eq 2301 . . . . . . . . . 10 ..^
6564sumeq1d 12051 . . . . . . . . 9 ..^
66 sum0 12071 . . . . . . . . 9
6765, 66syl6eq 2301 . . . . . . . 8 ..^
68 oveq1 5717 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
69 fzodisj 10778 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
7069a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
71 nn0re 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7372lep1d 9568 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 peano2re 8865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
763adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7776nnred 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7876nngt0d 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
79 lemul2 9489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8072, 75, 77, 78, 79syl112anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8173, 80mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 nn0mulcl 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
834, 82sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
84 nn0uz 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8583, 84syl6eleq 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 nn0p1nn 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
87 nnmulcl 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
883, 86, 87syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8988nnzd 9995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
90 elfz5 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9185, 89, 90syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
9281, 91mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . 14
93 fzosplit 10777 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^ ..^
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^ ..^
95 fzofi 10914 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
9695a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
9734ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
98 elfzoelz 10753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
9998adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
10030, 31, 32, 33, 97, 99dchrzrhcl 20316 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
10170, 94, 96, 100fsumsplit 12089 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ ..^
10276nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10372recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105104a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106102, 103, 105adddid 8739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107102mulid1d 8732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108107oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109106, 108eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110109oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
111110sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
11276nnnn0d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11383nn0zd 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114113adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115 nn0z 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
116 zaddcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
117113, 115, 116syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
118 peano2zm 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12034ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121 elfzelz 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
122121adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12330, 31, 32, 33, 120, 122dchrzrhcl 20316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
125124fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
126114, 114, 119, 123, 125fsumshftm 12120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127 fzoval 10754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
128117, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
129128sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
130115adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
131 fzoval 10754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
133114zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134133subidd 9025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
135117zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
136104a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
137135, 136, 133sub32d 9069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
138 nn0cn 9854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
139138adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
140133, 139pncan2d 9039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
141140oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
142137, 141eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
143134, 142oveq12d 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144132, 143eqtr4d 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
145144sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
146126, 129, 1453eqtr4d 2295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
1473nnzd 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
148 nn0z 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
149 dvdsmul1 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
150147, 148, 149syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
151150ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
152 elfzoelz 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
153152adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^
154153zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
155133adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
156154, 155pncan2d 9039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
157151, 156breqtrrd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
158112ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
159 zaddcl 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
160152, 114, 159syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
16131, 33zndvds 16335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
162158, 160, 153, 161syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
163157, 162mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
164163fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
165164sumeq2dv 12053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
166 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
167166fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
168167cbvsumv 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
169165, 168syl6eq 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
170146, 169eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
171170ralrimiva 2588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
172 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
173172oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
174173sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
175 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
176175sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
177174, 176eqeq12d 2267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^ ..^ ..^
178177rcla4v 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^ ..^ ..^
179112, 171, 178sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
180 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1813nnne0d 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
182 ifnefalse 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
184 fzofi 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
185183, 184syl6eqel 2341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
186 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 flds flds
187 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
18833reseq1i 4858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ RHom ..^
189 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
190186, 31, 187, 188, 189znf1o 16337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
1914, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
192 fvres 5394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
193192adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
19430, 31, 32, 187, 34dchrf 20313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
195 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
196194, 195sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
197180, 185, 191, 193, 196fsumf1o 12073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
198 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19930, 31, 32, 198, 34, 187dchrsum 20340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
200 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
201 ifnefalse 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
202200, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
203199, 202eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
204183sumeq1d 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
205197, 203, 2043eqtr3rd 2294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
206205adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
207111, 179, 2063eqtrd 2289 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
208207oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
209 00id 8867 . . . . . . . . . . . . 13
210208, 209syl6req 2302 . . . . . . . . . . . 12 ..^
211101, 210eqeq12d 2267 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
21268, 211syl5ibr 214 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
213212expcom 426 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
214213a2d 25 . . . . . . . 8 ..^ ..^
21544, 49, 54, 59, 67, 214nn0ind 9987 . . . . . . 7 ..^
216215impcom 421 . . . . . 6 ..^
21715, 216syldan 458 . . . . 5 ..^
218 modval 10853 . . . . . . . . . . 11
2197, 10, 218syl2anc 645 . . . . . . . . . 10
220219oveq2d 5726 . . . . . . . . 9
22116nn0cnd 9899 . . . . . . . . . 10
222 nn0cn 9854 . . . . . . . . . . 11
223222adantl 454 . . . . . . . . . 10
224221, 223pncan3d 9040 . . . . . . . . 9
225220, 224eqtr2d 2286 . . . . . . . 8
226225oveq2d 5726 . . . . . . 7 ..^ ..^
227226sumeq1d 12051 . . . . . 6 ..^ ..^
228 nn0z 9925 . . . . . . . 8
229 zmodcl 10867 . . . . . . . 8
230228, 3, 229syl2anr 466 . . . . . . 7
231171ralrimiva 2588 . . . . . . . 8 ..^ ..^
232231adantr 453 . . . . . . 7 ..^ ..^
233 oveq2 5718 . . . . . . . . . . 11
234233oveq1d 5725 . . . . . . . . . . 11
235233, 234oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
236235sumeq1d 12051 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
237236eqeq1d 2261 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
238 oveq2 5718 . . . . . . . . . . 11
239238oveq2d 5726 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
240239sumeq1d 12051 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
241 oveq2 5718 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
242241sumeq1d 12051 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
243240, 242eqeq12d 2267 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
244237, 243rcla42va 2828 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^
24515, 230, 232, 244syl21anc 1186 . . . . . 6 ..^ ..^
246227, 245eqtrd 2285 . . . . 5 ..^ ..^
247217, 246oveq12d 5728 . . . 4 ..^ ..^ ..^
248 fzofi 10914 . . . . . . 7 ..^
249248a1i 12 . . . . . 6 ..^
25034ad2antrr 709 . . . . . . 7 ..^
251 elfzoelz 10753 . . . . . . . 8 ..^
252251adantl 454 . . . . . . 7 ..^
25330, 31, 32, 33, 250, 252dchrzrhcl 20316 . . . . . 6 ..^
254249, 253fsumcl 12083 . . . . 5 ..^
255254addid2d 8893 . . . 4 ..^ ..^
25639, 247, 2553eqtrd 2289 . . 3 ..^ ..^
257256fveq2d 5381 . 2 ..^ ..^
258 zmodfzo 10870 . . . 4 ..^
259228, 3, 258syl2anr 466 . . 3 ..^
260 dchrisum.10 . . . 4 ..^ ..^
261260adantr 453 . . 3 ..^ ..^
262 oveq2 5718 . . . . . . 7 ..^ ..^
263262sumeq1d 12051 . . . . . 6 ..^ ..^
264263fveq2d 5381 . . . . 5 ..^ ..^
265264breq1d 3930 . . . 4 ..^ ..^
266265rcla4v 2817 . . 3 ..^ ..^ ..^ ..^
267259, 261, 266sylc 58 . 2 ..^
268257, 267eqbrtrd 3940 1 ..^
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wral 2509   cun 3076   cin 3077  c0 3362  cif 3470   class class class wbr 3920   cmpt 3974   cres 4582  wf 4588  wf1o 4591  cfv 4592  (class class class)co 5710  cfn 6749  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   clt 8747   cle 8748   cmin 8917   cdiv 9303  cn 9626  cn0 9844  cz 9903  cuz 10109  crp 10233  cfz 10660  ..^cfzo 10748  cfl 10802   cmo 10851  cabs 11596   crli 11836  csu 12035   cdivides 12405  cphi 12706  cbs 13022   ↾s cress 13023  c0g 13274  ℂfldccnfld 16209  RHomczrh 16283  ℤ/nℤczn 16286  DChrcdchr 20303 This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  20471 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-phi 12708  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-0g 13278  df-imas 13285  df-divs 13286  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-rnghom 15331  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-dchr 20304
 Copyright terms: Public domain W3C validator