Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cvgrat Unicode version

Theorem cvgrat 12213
 Description: Ratio test for convergence of a complex infinite series. If the ratio of the absolute values of of successive terms in an infinite sequence is less than 1 for all terms beyond some index , then the infinite sum of the terms of converges to a complex number. Equivalent to first part of Exercise 4 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cvgrat.1
cvgrat.2
cvgrat.3
cvgrat.4
cvgrat.5
cvgrat.6
cvgrat.7
Assertion
Ref Expression
cvgrat
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cvgrat
StepHypRef Expression
1 cvgrat.2 . . 3
2 cvgrat.5 . . . . . . 7
3 cvgrat.1 . . . . . . 7
42, 3syl6eleq 2343 . . . . . 6
5 eluzelz 10117 . . . . . 6
64, 5syl 17 . . . . 5
7 uzid 10121 . . . . 5
86, 7syl 17 . . . 4
98, 1syl6eleqr 2344 . . 3
10 oveq1 5717 . . . . . . 7
1110oveq2d 5726 . . . . . 6
12 eqid 2253 . . . . . 6
13 ovex 5735 . . . . . 6
1411, 12, 13fvmpt 5454 . . . . 5
1514adantl 454 . . . 4
16 0re 8718 . . . . . . 7
17 cvgrat.3 . . . . . . 7
18 ifcl 3506 . . . . . . 7
1916, 17, 18sylancr 647 . . . . . 6
2019adantr 453 . . . . 5
21 simpr 449 . . . . . . 7
2221, 1syl6eleq 2343 . . . . . 6
23 uznn0sub 10138 . . . . . 6
2422, 23syl 17 . . . . 5
2520, 24reexpcld 11140 . . . 4
2615, 25eqeltrd 2327 . . 3
27 uzss 10127 . . . . . . 7
284, 27syl 17 . . . . . 6
2928, 1, 33sstr4g 3140 . . . . 5
3029sselda 3103 . . . 4
31 cvgrat.6 . . . 4
3230, 31syldan 458 . . 3
3323adantl 454 . . . . . . . 8
34 oveq2 5718 . . . . . . . . 9
35 eqid 2253 . . . . . . . . 9
3634, 35, 13fvmpt 5454 . . . . . . . 8
3733, 36syl 17 . . . . . . 7
386zcnd 9997 . . . . . . . 8
39 eluzelz 10117 . . . . . . . . 9
4039zcnd 9997 . . . . . . . 8
41 nn0ex 9850 . . . . . . . . . 10
4241mptex 5598 . . . . . . . . 9
4342shftval 11446 . . . . . . . 8
4438, 40, 43syl2an 465 . . . . . . 7
45 simpr 449 . . . . . . . . 9
4645, 1syl6eleqr 2344 . . . . . . . 8
4746, 14syl 17 . . . . . . 7
4837, 44, 473eqtr4rd 2296 . . . . . 6
496, 48seqfeq 10949 . . . . 5
5042seqshft 11457 . . . . . 6
516, 6, 50syl2anc 645 . . . . 5
5238subidd 9025 . . . . . . 7
5352seqeq1d 10930 . . . . . 6
5453oveq1d 5725 . . . . 5
5549, 51, 543eqtrd 2289 . . . 4
5619recnd 8741 . . . . . . 7
57 max2 10394 . . . . . . . . . 10
5817, 16, 57sylancl 646 . . . . . . . . 9
5919, 58absidd 11782 . . . . . . . 8
60 0lt1 9176 . . . . . . . . 9
61 cvgrat.4 . . . . . . . . 9
62 breq1 3923 . . . . . . . . . 10
63 breq1 3923 . . . . . . . . . 10
6462, 63ifboth 3501 . . . . . . . . 9
6560, 61, 64sylancr 647 . . . . . . . 8
6659, 65eqbrtrd 3940 . . . . . . 7
67 oveq2 5718 . . . . . . . . 9
68 ovex 5735 . . . . . . . . 9
6967, 35, 68fvmpt 5454 . . . . . . . 8
7069adantl 454 . . . . . . 7
7156, 66, 70geolim 12200 . . . . . 6
72 seqex 10926 . . . . . . 7
73 climshft 11927 . . . . . . 7
746, 72, 73sylancl 646 . . . . . 6
7571, 74mpbird 225 . . . . 5
76 ovex 5735 . . . . . 6
77 ovex 5735 . . . . . 6
7876, 77breldm 4790 . . . . 5
7975, 78syl 17 . . . 4
8055, 79eqeltrd 2327 . . 3
8131ralrimiva 2588 . . . . 5
82 fveq2 5377 . . . . . . 7
8382eleq1d 2319 . . . . . 6
8483rcla4v 2817 . . . . 5
852, 81, 84sylc 58 . . . 4
8685abscld 11795 . . 3
87 fveq2 5377 . . . . . . . . 9
8887fveq2d 5381 . . . . . . . 8
89 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10
9089oveq2d 5726 . . . . . . . . 9
9190oveq2d 5726 . . . . . . . 8
9288, 91breq12d 3933 . . . . . . 7
9392imbi2d 309 . . . . . 6
94 fveq2 5377 . . . . . . . . 9
9594fveq2d 5381 . . . . . . . 8
9611oveq2d 5726 . . . . . . . 8
9795, 96breq12d 3933 . . . . . . 7
9897imbi2d 309 . . . . . 6
99 fveq2 5377 . . . . . . . . 9
10099fveq2d 5381 . . . . . . . 8
101 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10
102101oveq2d 5726 . . . . . . . . 9
103102oveq2d 5726 . . . . . . . 8
104100, 103breq12d 3933 . . . . . . 7
105104imbi2d 309 . . . . . 6
10686leidd 9219 . . . . . . . 8
10752oveq2d 5726 . . . . . . . . . . 11
10856exp0d 11117 . . . . . . . . . . 11
109107, 108eqtrd 2285 . . . . . . . . . 10
110109oveq2d 5726 . . . . . . . . 9
11186recnd 8741 . . . . . . . . . 10
112111mulid1d 8732 . . . . . . . . 9
113110, 112eqtrd 2285 . . . . . . . 8
114106, 113breqtrrd 3946 . . . . . . 7
115114a1i 12 . . . . . 6
11632abscld 11795 . . . . . . . . . . . 12
11786adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
118117, 25remulcld 8743 . . . . . . . . . . . 12
11958adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
120 lemul2a 9491 . . . . . . . . . . . . 13
121120ex 425 . . . . . . . . . . . 12
122116, 118, 20, 119, 121syl112anc 1191 . . . . . . . . . . 11
12356adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
124111adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
12525recnd 8741 . . . . . . . . . . . . . 14
126123, 124, 125mul12d 8901 . . . . . . . . . . . . 13
127123, 24expp1d 11124 . . . . . . . . . . . . . . 15
12840, 1eleq2s 2345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130 addsub 8942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131129, 130mp3an2 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132128, 38, 131syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133132oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . . . 15
134123, 125mulcomd 8736 . . . . . . . . . . . . . . 15
135127, 133, 1343eqtr4rd 2296 . . . . . . . . . . . . . 14
136135oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13
137126, 136eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . 12
138137breq2d 3932 . . . . . . . . . . 11
139122, 138sylibd 207 . . . . . . . . . 10
1401peano2uzs 10152 . . . . . . . . . . . . . . 15
14129sselda 3103 . . . . . . . . . . . . . . 15
142140, 141sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . 14
143 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144143eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
145144cbvralv 2708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14681, 145sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . 15
147146adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
14899eleq1d 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15
149148rcla4v 2817 . . . . . . . . . . . . . 14
150142, 147, 149sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13
151150abscld 11795 . . . . . . . . . . . 12
15217adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
153152, 116remulcld 8743 . . . . . . . . . . . 12
15420, 116remulcld 8743 . . . . . . . . . . . 12
155 cvgrat.7 . . . . . . . . . . . 12
15632absge0d 11803 . . . . . . . . . . . . 13
157 max1 10392 . . . . . . . . . . . . . . 15
15817, 16, 157sylancl 646 . . . . . . . . . . . . . 14
159158adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
160152, 20, 116, 156, 159lemul1ad 9576 . . . . . . . . . . . 12
161151, 153, 154, 155, 160letrd 8853 . . . . . . . . . . 11
162 peano2uz 10151 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16322, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
164 uznn0sub 10138 . . . . . . . . . . . . . . 15
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
16620, 165reexpcld 11140 . . . . . . . . . . . . 13
167117, 166remulcld 8743 . . . . . . . . . . . 12
168 letr 8794 . . . . . . . . . . . 12
169151, 154, 167, 168syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11
170161, 169mpand 659 . . . . . . . . . 10
171139, 170syld 42 . . . . . . . . 9
17246, 171syldan 458 . . . . . . . 8
173172expcom 426 . . . . . . 7
174173a2d 25 . . . . . 6
17593, 98, 105, 98, 115, 174uzind4 10155 . . . . 5
176175impcom 421 . . . 4
17747oveq2d 5726 . . . 4
178176, 177breqtrrd 3946 . . 3
1791, 9, 26, 32, 80, 86, 178cvgcmpce 12153 . 2
1803, 2, 31iserex 12007 . 2
181179, 180mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  cvv 2727   wss 3078  cif 3470   class class class wbr 3920   cmpt 3974   cdm 4580  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   clt 8747   cle 8748   cmin 8917   cdiv 9303  cn0 9844  cz 9903  cuz 10109   cseq 10924  cexp 10982   cshi 11438  cabs 11596   cli 11835 This theorem is referenced by:  efcllem  12233 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-ico 10540  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036
 Copyright terms: Public domain W3C validator