MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cphdir Unicode version

Theorem cphdir 18472
Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. Complex version of ipdir 16375. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cphipcj.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cphipcj.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
cphdir.P  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
cphdir  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .+  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
)  +  ( B 
.,  C ) ) )

Proof of Theorem cphdir
StepHypRef Expression
1 cphphl 18439 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2253 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
3 cphipcj.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
4 cphipcj.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 cphdir.P . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
6 eqid 2253 . . . 4  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
72, 3, 4, 5, 6ipdir 16375 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .+  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
81, 7sylan 459 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .+  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
9 cphclm 18457 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
102clmadd 18404 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  +  =  ( +g  `  (Scalar `  W ) ) )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  +  =  ( +g  `  (Scalar `  W ) ) )
1211adantr 453 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  +  =  ( +g  `  (Scalar `  W ) ) )
1312oveqd 5727 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .,  C )  +  ( B  .,  C
) )  =  ( ( A  .,  C
) ( +g  `  (Scalar `  W ) ) ( B  .,  C ) ) )
148, 13eqtr4d 2288 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  V )
)  ->  ( ( A  .+  B )  .,  C )  =  ( ( A  .,  C
)  +  ( B 
.,  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    + caddc 8620   Basecbs 13022   +g cplusg 13082  Scalarcsca 13085   .icip 13087   PreHilcphl 16360  CModcclm 18392   CPreHilccph 18434
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-fz 10661  df-seq 10925  df-exp 10983  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-grp 14324  df-subg 14453  df-ghm 14516  df-cmn 14926  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-drng 15349  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lmhm 15614  df-lvec 15691  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-cnfld 16210  df-phl 16362  df-nlm 17941  df-clm 18393  df-cph 18436
  Copyright terms: Public domain W3C validator