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Theorem cncph 21227
Description: The set of complex numbers is an inner product (pre-Hilbert) space. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cncph.6  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
Assertion
Ref Expression
cncph  |-  U  e.  CPreHil
OLD

Proof of Theorem cncph
StepHypRef Expression
1 cncph.6 . 2  |-  U  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
2 eqid 2253 . . . 4  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
32cnnv 21075 . . 3  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  NrmCVec
4 mulm1 9101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
54adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  y )  =  -u y )
65oveq2d 5726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) )  =  ( x  +  -u y
) )
7 negsub 8975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  -u y )  =  ( x  -  y ) )
86, 7eqtrd 2285 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) )  =  ( x  -  y ) )
98fveq2d 5381 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) )  =  ( abs `  ( x  -  y ) ) )
109oveq1d 5725 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )
1110oveq2d 5726 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
x  -  y ) ) ^ 2 ) ) )
12 sqabsadd 11644 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
x  +  y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) )
13 sqabssub 11645 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( abs `  (
x  -  y ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) )
1412, 13oveq12d 5728 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) ) )
15 abscl 11640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
1615recnd 8741 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  CC )
1716sqcld 11121 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
18 abscl 11640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
1918recnd 8741 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  y )  e.  CC )
2019sqcld 11121 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( abs `  y
) ^ 2 )  e.  CC )
21 addcl 8699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( abs `  y
) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC )
2217, 20, 21syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC )
23 2cn 9696 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
24 cjcl 11467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  (
* `  y )  e.  CC )
25 mulcl 8701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( * `  y
)  e.  CC )  ->  ( x  x.  ( * `  y
) )  e.  CC )
2624, 25sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  (
* `  y )
)  e.  CC )
27 recl 11472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  x.  ( * `
 y ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) )  e.  RR )
2827recnd 8741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  x.  ( * `
 y ) )  e.  CC  ->  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) )  e.  CC )
2926, 28syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( Re `  (
x  x.  ( * `
 y ) ) )  e.  CC )
30 mulcl 8701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( Re `  ( x  x.  ( * `  y ) ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) )  e.  CC )
3123, 29, 30sylancr 647 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
Re `  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) )  e.  CC )
3222, 31, 22ppncand 9077 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) )  +  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( Re
`  ( x  x.  ( * `  y
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) ) ) )
3314, 32eqtrd 2285 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
34 2times 9722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3534eqcomd 2258 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) )  e.  CC  ->  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3622, 35syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y
) ^ 2 ) )  +  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3733, 36eqtrd 2285 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  -  y ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3811, 37eqtrd 2285 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  +  ( -u 1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) )
3938rgen2a 2571 . . 3  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) )
40 addex 10231 . . . 4  |-  +  e.  _V
41 mulex 10232 . . . 4  |-  x.  e.  _V
42 absf 11698 . . . . 5  |-  abs : CC
--> RR
43 cnex 8698 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
44 fex 5601 . . . . 5  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  CC  e.  _V )  ->  abs  e.  _V )
4542, 43, 44mp2an 656 . . . 4  |-  abs  e.  _V
46 cnaddablo 20847 . . . . . . 7  |-  +  e.  AbelOp
47 ablogrpo 20781 . . . . . . 7  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
4846, 47ax-mp 10 . . . . . 6  |-  +  e.  GrpOp
49 ax-addf 8696 . . . . . . 7  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
5049fdmi 5251 . . . . . 6  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
5148, 50grporn 20709 . . . . 5  |-  CC  =  ran  +
5251isphg 21225 . . . 4  |-  ( (  +  e.  _V  /\  x.  e.  _V  /\  abs  e.  _V )  ->  ( <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  CPreHil OLD  <->  (
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  (
( ( abs `  (
x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( x  +  (
-u 1  x.  y
) ) ) ^
2 ) )  =  ( 2  x.  (
( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
5340, 41, 45, 52mp3an 1282 . . 3  |-  ( <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  CPreHil OLD  <->  ( <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  NrmCVec  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  CC  ( ( ( abs `  ( x  +  y ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  (
x  +  ( -u
1  x.  y ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( abs `  x
) ^ 2 )  +  ( ( abs `  y ) ^ 2 ) ) ) ) )
543, 39, 53mpbir2an 891 . 2  |-  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.  e.  CPreHil
OLD
551, 54eqeltri 2323 1  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   _Vcvv 2727   <.cop 3547    X. cxp 4578   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    - cmin 8917   -ucneg 8918   2c2 9675   ^cexp 10982   *ccj 11458   Recre 11459   abscabs 11596   GrpOpcgr 20683   AbelOpcablo 20778   NrmCVeccnv 20970   CPreHil OLDccphlo 21220
This theorem is referenced by:  elimphu  21229  cnchl  21325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-ph 21221
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