Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climuzcnv Unicode version

Theorem climuzcnv 23175
Description: Utility lemma to convert between  m  <_  k and  k  e.  ( ZZ>= `  m ) in limit theorems. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
climuzcnv  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) ) )
Distinct variable group:    k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)

Proof of Theorem climuzcnv
StepHypRef Expression
1 elnnuz 10143 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  <->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2 uztrn 10123 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
31, 2sylan2b 463 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4 elnnuz 10143 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
53, 4sylibr 205 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  m  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
65expcom 426 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  k  e.  NN ) )
7 eluzle 10119 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  m  <_  k )
87a1i 12 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  m  <_  k ) )
96, 8jcad 521 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  ->  (
k  e.  NN  /\  m  <_  k ) ) )
10 nnz 9924 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
11 nnz 9924 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
12 eluz2 10115 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  m
)  <->  ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_ 
k ) )
1312biimpri 199 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
1411, 13syl3an1 1220 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ZZ  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
1510, 14syl3an2 1221 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
16153expib 1159 . . . 4  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )
179, 16impbid 185 . . 3  |-  ( m  e.  NN  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  m )  <->  ( k  e.  NN  /\  m  <_ 
k ) ) )
1817imbi1d 310 . 2  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( ( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  ph )
) )
19 impexp 435 . 2  |-  ( ( ( k  e.  NN  /\  m  <_  k )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) )
2018, 19syl6bb 254 1  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  m )  ->  ph )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( m  <_  k  ->  ph ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1621   class class class wbr 3920   ` cfv 4592   1c1 8618    <_ cle 8748   NNcn 9626   ZZcz 9903   ZZ>=cuz 10109
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-z 9904  df-uz 10110
  Copyright terms: Public domain W3C validator