Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem4 Unicode version

Theorem chordthmlem4 19876
 Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA PB = BM2 PM2. If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity 2 2. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A
chordthmlem4.B
chordthmlem4.X
chordthmlem4.M
chordthmlem4.P
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1re 8717 . . . . . . . . 9
21a1i 12 . . . . . . . 8
3 unitssre 10659 . . . . . . . . 9
4 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9
53, 4sseldi 3101 . . . . . . . 8
62, 5resubcld 9091 . . . . . . 7
76recnd 8741 . . . . . 6
87abscld 11795 . . . . 5
98recnd 8741 . . . 4
10 chordthmlem4.B . . . . . . 7
11 chordthmlem4.A . . . . . . 7
1210, 11subcld 9037 . . . . . 6
1312abscld 11795 . . . . 5
1413recnd 8741 . . . 4
155recnd 8741 . . . . . 6
1615abscld 11795 . . . . 5
1716recnd 8741 . . . 4
189, 14, 17, 14mul4d 8904 . . 3
19 chordthmlem4.P . . . . . . 7
2015, 11mulcld 8735 . . . . . . . . . 10
217, 10mulcld 8735 . . . . . . . . . 10
2220, 21addcld 8734 . . . . . . . . 9
2319, 22eqeltrd 2327 . . . . . . . 8
2411, 23, 10, 15affineequiv2 19868 . . . . . . 7
2519, 24mpbid 203 . . . . . 6
2625fveq2d 5381 . . . . 5
277, 12absmuld 11813 . . . . 5
2826, 27eqtrd 2285 . . . 4
2923, 10abssubd 11812 . . . . 5
3011, 23, 10, 15affineequiv 19867 . . . . . . 7
3119, 30mpbid 203 . . . . . 6
3231fveq2d 5381 . . . . 5
3315, 12absmuld 11813 . . . . 5
3429, 32, 333eqtrd 2289 . . . 4
3528, 34oveq12d 5728 . . 3
3614sqvald 11120 . . . 4
3736oveq2d 5726 . . 3
3818, 35, 373eqtr4d 2295 . 2
392recnd 8741 . . . . . 6
4039halfcld 9835 . . . . 5
4140sqcld 11121 . . . 4
422rehalfcld 9837 . . . . . . . . 9
4342, 5resubcld 9091 . . . . . . . 8
4443recnd 8741 . . . . . . 7
4544abscld 11795 . . . . . 6
4645recnd 8741 . . . . 5
4746sqcld 11121 . . . 4
4814sqcld 11121 . . . 4
4941, 47, 48subdird 9116 . . 3
50 subsq 11088 . . . . . . 7
5140, 44, 50syl2anc 645 . . . . . 6
5240, 40, 15addsubassd 9057 . . . . . . . 8
53392halvesd 9836 . . . . . . . . 9
5453oveq1d 5725 . . . . . . . 8
5552, 54eqtr3d 2287 . . . . . . 7
5640, 15nncand 9042 . . . . . . 7
5755, 56oveq12d 5728 . . . . . 6
5851, 57eqtr2d 2286 . . . . 5
59 0re 8718 . . . . . . . . . 10
6059, 1elicc2i 10594 . . . . . . . . 9
614, 60sylib 190 . . . . . . . 8
6261simp3d 974 . . . . . . 7
635, 2, 62abssubge0d 11791 . . . . . 6
6461simp2d 973 . . . . . . 7
655, 64absidd 11782 . . . . . 6
6663, 65oveq12d 5728 . . . . 5
67 absresq 11664 . . . . . . 7
6843, 67syl 17 . . . . . 6
6968oveq2d 5726 . . . . 5
7058, 66, 693eqtr4d 2295 . . . 4
7170oveq1d 5725 . . 3
72 2cn 9696 . . . . . . . . . . . . . 14
7372a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
74 2ne0 9709 . . . . . . . . . . . . . 14
7574a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
7610, 73, 75divcan4d 9422 . . . . . . . . . . . 12
7710times2d 9834 . . . . . . . . . . . . 13
7877oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . 12
7976, 78eqtr3d 2287 . . . . . . . . . . 11
80 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11
8179, 80oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10
8210, 10addcld 8734 . . . . . . . . . . 11
8311, 10addcld 8734 . . . . . . . . . . 11
8482, 83, 73, 75divsubdird 9455 . . . . . . . . . 10
8510, 11, 10pnpcan2d 9075 . . . . . . . . . . 11
8685oveq1d 5725 . . . . . . . . . 10
8781, 84, 863eqtr2d 2291 . . . . . . . . 9
8812, 73, 75divrec2d 9420 . . . . . . . . 9
8987, 88eqtrd 2285 . . . . . . . 8
9089fveq2d 5381 . . . . . . 7
9140, 12absmuld 11813 . . . . . . 7
9259a1i 12 . . . . . . . . . 10
93 halfgt0 9811 . . . . . . . . . . 11
9493a1i 12 . . . . . . . . . 10
9592, 42, 94ltled 8847 . . . . . . . . 9
9642, 95absidd 11782 . . . . . . . 8
9796oveq1d 5725 . . . . . . 7
9890, 91, 973eqtrd 2289 . . . . . 6
9998oveq1d 5725 . . . . 5
10040, 14sqmuld 11135 . . . . 5
10199, 100eqtrd 2285 . . . 4
10240, 15, 12subdird 9116 . . . . . . . . 9
10389, 31oveq12d 5728 . . . . . . . . 9
10483halfcld 9835 . . . . . . . . . . 11
10580, 104eqeltrd 2327 . . . . . . . . . 10
10610, 105, 23nnncan1d 9071 . . . . . . . . 9
107102, 103, 1063eqtr2rd 2292 . . . . . . . 8
108107fveq2d 5381 . . . . . . 7
10944, 12absmuld 11813 . . . . . . 7
110108, 109eqtrd 2285 . . . . . 6
111110oveq1d 5725 . . . . 5
11246, 14sqmuld 11135 . . . . 5
113111, 112eqtrd 2285 . . . 4
114101, 113oveq12d 5728 . . 3
11549, 71, 1143eqtr4rd 2296 . 2
11638, 115eqtr4d 2288 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   clt 8747   cle 8748   cmin 8917   cdiv 9303  c2 9675  cicc 10537  cexp 10982  cabs 11596 This theorem is referenced by:  chordthmlem5  19877 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-icc 10541  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598
 Copyright terms: Public domain W3C validator