Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem1 Unicode version

Theorem chebbnd1lem1 20450
 Description: Lemma for chebbnd1 20453: show a lower bound on π at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 20364. (Note that the expression is actually equal to , but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 20355, which shows that each term in the expansion is at most , so that the sum really only has nonzero elements up to , and since each term is at most , after taking logs we get the inequality π , and bclbnd 20351 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem1.1
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem1 π

Proof of Theorem chebbnd1lem1
StepHypRef Expression
1 4nn 9758 . . . . . 6
2 nnuz 10142 . . . . . . . . 9
32uztrn2 10124 . . . . . . . 8
41, 3mpan 654 . . . . . . 7
54nnnn0d 9897 . . . . . 6
6 nnexpcl 10994 . . . . . 6
71, 5, 6sylancr 647 . . . . 5
87nnrpd 10268 . . . 4
94nnrpd 10268 . . . 4
108, 9rpdivcld 10286 . . 3
1110relogcld 19806 . 2
12 fzctr 10732 . . . . . 6
135, 12syl 17 . . . . 5
14 bccl2 11213 . . . . 5
1513, 14syl 17 . . . 4
1615nnrpd 10268 . . 3
1716relogcld 19806 . 2
18 2z 9933 . . . . . . 7
19 eluzelz 10117 . . . . . . 7
20 zmulcl 9945 . . . . . . 7
2118, 19, 20sylancr 647 . . . . . 6
2221zred 9996 . . . . 5
23 ppicl 20201 . . . . 5 π
2422, 23syl 17 . . . 4 π
2524nn0red 9898 . . 3 π
26 2nn 9756 . . . . . 6
27 nnmulcl 9649 . . . . . 6
2826, 4, 27sylancr 647 . . . . 5
2928nnrpd 10268 . . . 4
3029relogcld 19806 . . 3
3125, 30remulcld 8743 . 2 π
32 bclbnd 20351 . . 3
33 logltb 19785 . . . 4
3410, 16, 33syl2anc 645 . . 3
3532, 34mpbid 203 . 2
36 chebbnd1lem1.1 . . . . . . . 8
37 ifcl 3506 . . . . . . . . 9
3828, 15, 37syl2anc 645 . . . . . . . 8
3936, 38syl5eqel 2337 . . . . . . 7
4039nnred 9641 . . . . . 6
41 ppicl 20201 . . . . . 6 π
4240, 41syl 17 . . . . 5 π
4342nn0red 9898 . . . 4 π
4443, 30remulcld 8743 . . 3 π
45 fzfid 10913 . . . . . 6
46 inss1 3296 . . . . . 6
47 ssfi 6968 . . . . . 6
4845, 46, 47sylancl 646 . . . . 5
4939nnzd 9995 . . . . . . . . . 10
5015nnzd 9995 . . . . . . . . . 10
5115nnred 9641 . . . . . . . . . . . 12
52 min2 10396 . . . . . . . . . . . 12
5322, 51, 52syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11
5436, 53syl5eqbr 3953 . . . . . . . . . 10
55 eluz2 10115 . . . . . . . . . 10
5649, 50, 54, 55syl3anbrc 1141 . . . . . . . . 9
57 fzss2 10709 . . . . . . . . 9
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8
59 ssrin 3301 . . . . . . . 8
6058, 59syl 17 . . . . . . 7
6160sselda 3103 . . . . . 6
62 inss1 3296 . . . . . . . . . . 11
63 simpr 449 . . . . . . . . . . 11
6462, 63sseldi 3101 . . . . . . . . . 10
65 elfznn 10697 . . . . . . . . . 10
6664, 65syl 17 . . . . . . . . 9
67 inss2 3297 . . . . . . . . . . 11
6867, 63sseldi 3101 . . . . . . . . . 10
6915adantr 453 . . . . . . . . . 10
7068, 69pccld 12777 . . . . . . . . 9
7166, 70nnexpcld 11144 . . . . . . . 8
7271nnrpd 10268 . . . . . . 7
7372relogcld 19806 . . . . . 6
7461, 73syldan 458 . . . . 5
7530adantr 453 . . . . 5
76 elin 3266 . . . . . . . . 9
7776simprbi 452 . . . . . . . 8
78 bposlem1 20355 . . . . . . . 8
794, 77, 78syl2an 465 . . . . . . 7
8061, 72syldan 458 . . . . . . . 8
8180reeflogd 19807 . . . . . . 7
8229adantr 453 . . . . . . . 8
8382reeflogd 19807 . . . . . . 7
8479, 81, 833brtr4d 3950 . . . . . 6
85 efle 12272 . . . . . . 7
8674, 75, 85syl2anc 645 . . . . . 6
8784, 86mpbird 225 . . . . 5
8848, 74, 75, 87fsumle 12134 . . . 4
8973recnd 8741 . . . . . . 7
9061, 89syldan 458 . . . . . 6
91 eldifn 3216 . . . . . . . . . . . . 13
9291adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
93 difss 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9593, 94sseldi 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9662, 95sseldi 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9897adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998nnred 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10095, 71syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101100nnred 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102101adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10322adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10498nncnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105104exp1d 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10698nnge1d 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
108107, 2syl6eleq 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10999, 106, 108leexp2ad 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110105, 109eqbrtrrd 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1114adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11267, 95sseldi 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113112adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114111, 113, 78syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11599, 102, 103, 110, 114letrd 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116 elfzle2 10678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11796, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118117adantrr 700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11951adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 lemin 10398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12199, 103, 119, 120syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122115, 118, 121mpbir2and 893 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123122, 36syl6breqr 3960 . . . . . . . . . . . . . . 15
12439adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125124nnzd 9995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126 fznn 10730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
12898, 123, 127mpbir2and 893 . . . . . . . . . . . . . 14
129128, 113, 76sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . 13
130129expr 601 . . . . . . . . . . . 12
13192, 130mtod 170 . . . . . . . . . . 11
13295, 70syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13
133 elnn0 9846 . . . . . . . . . . . . 13
134132, 133sylib 190 . . . . . . . . . . . 12
135134ord 368 . . . . . . . . . . 11
136131, 135mpd 16 . . . . . . . . . 10
137136oveq2d 5726 . . . . . . . . 9
13897nncnd 9642 . . . . . . . . . 10
139138exp0d 11117 . . . . . . . . 9
140137, 139eqtrd 2285 . . . . . . . 8
141140fveq2d 5381 . . . . . . 7
142 log1 19771 . . . . . . 7
143141, 142syl6eq 2301 . . . . . 6
144 fzfid 10913 . . . . . . 7
145 ssfi 6968 . . . . . . 7
146144, 62, 145sylancl 646 . . . . . 6
14760, 90, 143, 146fsumss 12075 . . . . 5
14866nnrpd 10268 . . . . . . 7
14970nn0zd 9994 . . . . . . 7
150 relogexp 19781 . . . . . . 7
151148, 149, 150syl2anc 645 . . . . . 6
152151sumeq2dv 12053 . . . . 5
153 pclogsum 20286 . . . . . 6
15415, 153syl 17 . . . . 5
155147, 152, 1543eqtrd 2289 . . . 4
15630recnd 8741 . . . . . 6
157 fsumconst 12129 . . . . . 6
15848, 156, 157syl2anc 645 . . . . 5
15926, 2eleqtri 2325 . . . . . . 7
160 ppival2g 20199 . . . . . . 7 π
16149, 159, 160sylancl 646 . . . . . 6 π
162161oveq1d 5725 . . . . 5 π
163158, 162eqtr4d 2288 . . . 4 π
16488, 155, 1633brtr3d 3949 . . 3 π
165 min1 10395 . . . . . . 7
16622, 51, 165syl2anc 645 . . . . . 6
16736, 166syl5eqbr 3953 . . . . 5
168 ppiwordi 20232 . . . . 5 π π
16940, 22, 167, 168syl3anc 1187 . . . 4 π π
170 1re 8717 . . . . . . . 8
171170a1i 12 . . . . . . 7
172 2re 9695 . . . . . . . 8
173172a1i 12 . . . . . . 7
174 1lt2 9765 . . . . . . . 8
175174a1i 12 . . . . . . 7
176 2cn 9696 . . . . . . . . 9
177176mulid1i 8719 . . . . . . . 8
1784nnge1d 9668 . . . . . . . . 9
179 eluzelre 10118 . . . . . . . . . 10
180 2pos 9708 . . . . . . . . . . . 12
181172, 180pm3.2i 443 . . . . . . . . . . 11
182181a1i 12 . . . . . . . . . 10
183 lemul2 9489 . . . . . . . . . 10
184171, 179, 182, 183syl3anc 1187 . . . . . . . . 9
185178, 184mpbid 203 . . . . . . . 8
186177, 185syl5eqbrr 3954 . . . . . . 7
187171, 173, 22, 175, 186ltletrd 8856 . . . . . 6
18822, 187rplogcld 19812 . . . . 5
18943, 25, 188lemul1d 10308 . . . 4 π π π π
190169, 189mpbid 203 . . 3 π π
19117, 44, 31, 164, 190letrd 8853 . 2 π
19211, 17, 31, 35, 191ltletrd 8856 1 π
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   cdif 3075   cin 3077   wss 3078  cif 3470   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  cfn 6749  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   cmul 8622   clt 8747   cle 8748   cdiv 9303  cn 9626  c2 9675  c4 9677  cn0 9844  cz 9903  cuz 10109  crp 10233  cfz 10660  cexp 10982   cbc 11193  chash 11215  csu 12035  ce 12217  cprime 12632   cpc 12763  clog 19744  πcppi 20163 This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  20452 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746  df-ppi 20169
 Copyright terms: Public domain W3C validator