Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfcof Unicode version

Theorem cfcof 7784
 Description: If there is a cofinal map from to , then they have the same cofinality. This was used as Definition 11.1 of [TakeutiZaring] p. 100, who defines an equivalence relation cof and defines our as the minimum such that cof . (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfcof
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,

Proof of Theorem cfcof
StepHypRef Expression
1 cfcoflem 7782 . . . 4
21imp 420 . . 3
3 cff1 7768 . . . . . . 7
4 f1f 5294 . . . . . . . . 9
54anim1i 554 . . . . . . . 8
65eximi 1574 . . . . . . 7
73, 6syl 17 . . . . . 6
8 eqid 2253 . . . . . . 7
98coftr 7783 . . . . . 6
107, 9syl5com 28 . . . . 5
11 eloni 4295 . . . . . . 7
12 cfon 7765 . . . . . . 7
13 eqid 2253 . . . . . . . 8
14 eqid 2253 . . . . . . . 8
15 eqid 2253 . . . . . . . 8 OrdIso OrdIso
1613, 14, 15cofsmo 7779 . . . . . . 7
1711, 12, 16sylancl 646 . . . . . 6
18 3simpb 958 . . . . . . . . . . . 12
1918eximi 1574 . . . . . . . . . . 11
2012onsuci 4520 . . . . . . . . . . . . 13
2120oneli 4391 . . . . . . . . . . . 12
22 cfflb 7769 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22sylan2 462 . . . . . . . . . . 11
2419, 23syl5 30 . . . . . . . . . 10
2524imp 420 . . . . . . . . 9
26 onsssuc 4373 . . . . . . . . . . . 12
2721, 12, 26sylancl 646 . . . . . . . . . . 11
2827ibir 235 . . . . . . . . . 10
2928ad2antlr 710 . . . . . . . . 9
3025, 29sstrd 3110 . . . . . . . 8
3130exp31 590 . . . . . . 7
3231rexlimdv 2628 . . . . . 6
3317, 32syld 42 . . . . 5
3410, 33sylan9 641 . . . 4
3534imp 420 . . 3
362, 35eqssd 3117 . 2
3736ex 425 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  wrex 2510  crab 2512   wss 3078  cint 3760   cmpt 3974   cep 4196   word 4284  con0 4285   csuc 4287  wf 4588  wf1 4589  cfv 4592   wsmo 6248  OrdIsocoi 7108  ccf 7454 This theorem is referenced by:  alephsing  7786 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-smo 6249  df-recs 6274  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-oi 7109  df-card 7456  df-cf 7458  df-acn 7459
 Copyright terms: Public domain W3C validator