Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cardinfima Unicode version

Theorem cardinfima 7608
 Description: If a mapping to cardinals has an infinite value, then the union of its image is an infinite cardinal. Corollary 11.17 of [TakeutiZaring] p. 104. (Contributed by NM, 4-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
cardinfima
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem cardinfima
StepHypRef Expression
1 elex 2735 . 2
2 isinfcard 7603 . . . . . . . . . . . . 13
32bicomi 195 . . . . . . . . . . . 12
43simplbi 448 . . . . . . . . . . 11
5 ffn 5246 . . . . . . . . . . . 12
6 fnfvelrn 5514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76ex 425 . . . . . . . . . . . . . . 15
8 fnima 5219 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98eleq2d 2320 . . . . . . . . . . . . . . 15
107, 9sylibrd 227 . . . . . . . . . . . . . 14
11 elssuni 3753 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13
1312imp 420 . . . . . . . . . . . 12
145, 13sylan 459 . . . . . . . . . . 11
154, 14sylan9ssr 3114 . . . . . . . . . 10
1615anasss 631 . . . . . . . . 9
1716a1i 12 . . . . . . . 8
18 carduniima 7607 . . . . . . . . . 10
19 iscard3 7604 . . . . . . . . . 10
2018, 19syl6ibr 220 . . . . . . . . 9
2120adantrd 456 . . . . . . . 8
2217, 21jcad 521 . . . . . . 7
23 isinfcard 7603 . . . . . . 7
2422, 23syl6ib 219 . . . . . 6
2524exp4d 595 . . . . 5
2625imp 420 . . . 4
2726rexlimdv 2628 . . 3
2827expimpd 589 . 2
291, 28syl 17 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wrex 2510  cvv 2727   cun 3076   wss 3078  cuni 3727  com 4547   crn 4581  cima 4583   wfn 4587  wf 4588  cfv 4592  ccrd 7452  cale 7453 This theorem is referenced by:  alephfplem4  7618 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-oi 7109  df-har 7156  df-card 7456  df-aleph 7457
 Copyright terms: Public domain W3C validator