MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocn Unicode version

Theorem blocn 21215
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocn.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocn.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocn.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocn.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocn.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocn.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocn.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocn.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
Assertion
Ref Expression
blocn  |-  ( T  e.  L  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B ) )

Proof of Theorem blocn
StepHypRef Expression
1 eleq1 2313 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K
) ) )
2 eleq1 2313 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  ( T  e.  B  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B ) )
31, 2bibi12d 314 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  ->  (
( T  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
T  e.  B )  <-> 
( if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
if ( T  e.  L ,  T , 
( U  0op  W
) )  e.  B
) ) )
4 blocn.8 . . 3  |-  C  =  ( IndMet `  U )
5 blocn.d . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  W )
6 blocn.j . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
7 blocn.k . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
8 blocn.4 . . 3  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
9 blocn.5 . . 3  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
10 blocn.u . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
11 blocn.w . . 3  |-  W  e.  NrmCVec
12 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
1312, 80lno 21198 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  e.  L )
1410, 11, 13mp2an 656 . . . 4  |-  ( U  0op  W )  e.  L
1514elimel 3522 . . 3  |-  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  L
164, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15blocni 21213 . 2  |-  ( if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  ( J  Cn  K )  <->  if ( T  e.  L ,  T ,  ( U  0op  W ) )  e.  B )
173, 16dedth 3511 1  |-  ( T  e.  L  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3470   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   MetOpencmopn 16204    Cn ccn 16786   NrmCVeccnv 20970   IndMetcims 20977    LnOp clno 21148    BLnOp cblo 21150    0op c0o 21151
This theorem is referenced by:  blocn2  21216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-sup 7078  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-seq 10925  df-exp 10983  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-topgen 13218  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-gdiv 20691  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-vs 20985  df-nmcv 20986  df-ims 20987  df-lno 21152  df-nmoo 21153  df-blo 21154  df-0o 21155
  Copyright terms: Public domain W3C validator