MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blfval Unicode version

Theorem blfval 17779
Description: The value of the ball function. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blfval  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D )  =  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
Distinct variable groups:    x, r,
y, D    X, r, x, y

Proof of Theorem blfval
StepHypRef Expression
1 df-bl 16207 . . 3  |-  ball  =  ( d  e.  U. ran  * Met  |->  ( x  e.  dom  dom  d ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  dom  dom  d  |  ( x d y )  <  r } ) )
21a1i 12 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ball  =  ( d  e.  U. ran  * Met  |->  ( x  e.  dom  dom  d ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  dom  dom  d  |  ( x d y )  <  r } ) ) )
3 dmeq 4786 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  dom  d  =  dom  D )
43dmeqd 4788 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  dom  dom  d  =  dom  dom  D )
5 xmetdmdm 17732 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  dom  dom  D )
65eqcomd 2258 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  dom  dom 
D  =  X )
74, 6sylan9eqr 2307 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  dom  dom  d  =  X )
8 eqidd 2254 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  RR*  =  RR* )
9 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  d  =  D )
109oveqd 5727 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  ( x
d y )  =  ( x D y ) )
1110breq1d 3930 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  ( (
x d y )  <  r  <->  ( x D y )  < 
r ) )
127, 11rabeqbidv 2722 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  { y  e.  dom  dom  d  | 
( x d y )  <  r }  =  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } )
137, 8, 12mpt2eq123dv 5762 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  d  =  D )  ->  ( x  e.  dom  dom  d , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  dom  dom  d  |  ( x d y )  <  r } )  =  ( x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
14 fvssunirn 5404 . . 3  |-  ( * Met `  X ) 
C_  U. ran  * Met
1514sseli 3099 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D  e.  U. ran  * Met )
16 ssrab2 3179 . . . . . 6  |-  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  C_  X
17 elfvdm 5407 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
1817adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  r  e. 
RR* ) )  ->  X  e.  dom  * Met )
19 elpw2g 4063 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ( { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r }  e.  ~P X 
<->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  C_  X ) )
2018, 19syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  r  e. 
RR* ) )  -> 
( { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r }  e.  ~P X 
<->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  C_  X ) )
2116, 20mpbiri 226 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  r  e. 
RR* ) )  ->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  e.  ~P X
)
2221ralrimivva 2597 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR*  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r }  e.  ~P X )
23 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } )  =  ( x  e.  X ,  r  e. 
RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } )
2423fmpt2 6043 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. r  e.  RR*  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  e.  ~P X  <->  ( x  e.  X ,  r  e. 
RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2522, 24sylib 190 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X )
26 xrex 10230 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
27 xpexg 4707 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  RR*  e.  _V )  ->  ( X  X.  RR* )  e.  _V )
2817, 26, 27sylancl 646 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( X  X.  RR* )  e.  _V )
29 pwexg 4088 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  * Met  ->  ~P X  e.  _V )
3017, 29syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ~P X  e.  _V )
31 fex2 5258 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  ( X  X.  RR* )  e.  _V  /\  ~P X  e.  _V )  ->  (
x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } )  e.  _V )
3225, 28, 30, 31syl3anc 1187 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } )  e.  _V )
332, 13, 15, 32fvmptd 5458 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D )  =  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   {crab 2512   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   ~Pcpw 3530   U.cuni 3727   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974    X. cxp 4578   dom cdm 4580   ran crn 4581   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    e. cmpt2 5712   RR*cxr 8746    < clt 8747   * Metcxmt 16201   ballcbl 16203
This theorem is referenced by:  blval  17780  blf  17793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-map 6660  df-xr 8751  df-xmet 16205  df-bl 16207
  Copyright terms: Public domain W3C validator