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Theorem binomfallfaclem2 25307
Description: Lemma for binomfallfac 25308. Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
binomfallfaclem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
binomfallfaclem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
binomfallfaclem.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
binomfallfaclem.4  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
binomfallfaclem2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, N    A, k    B, k
Allowed substitution hint:    ps( k)

Proof of Theorem binomfallfaclem2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomfallfaclem.4 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
21oveq1d 6055 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ( ( A  +  B ) FallFac  N
)  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
3 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
4 binomfallfaclem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
5 binomfallfaclem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
64, 5addcld 9063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
7 binomfallfaclem.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
87nn0cnd 10232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
96, 8subcld 9367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  N
)  e.  CC )
107nn0zd 10329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
11 uzid 10456 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
13 peano2uz 10486 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
14 fzss2 11048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
1512, 13, 143syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
1615sselda 3308 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
17 elfzelz 11015 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
18 bccl 11568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
197, 17, 18syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
2019nn0cnd 10232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
2116, 20syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
224adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
23 elfzelz 11015 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
24 zsubcl 10275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
2510, 23, 24syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
26 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  <_  N )
2726adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  <_  N )
287nn0red 10231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2928adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  RR )
3023zred 10331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  RR )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  RR )
3229, 31subge0d 9572 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0  <_  ( N  -  k )  <->  k  <_  N ) )
3327, 32mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  0  <_  ( N  -  k
) )
34 elnn0z 10250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  k )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  k
) ) )
3525, 33, 34sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
36 fallfaccl 25284 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  k ) )  e.  CC )
3722, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( N  -  k
) )  e.  CC )
38 elfznn0 11039 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
39 fallfaccl 25284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  k )  e.  CC )
405, 38, 39syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B FallFac  k )  e.  CC )
4116, 40syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  k )  e.  CC )
4237, 41mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
4321, 42mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
443, 9, 43fsummulc1 12523 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
459adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  e.  CC )
4621, 42, 45mulassd 9067 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  x.  (
( A  +  B
)  -  N ) ) ) )
478adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
48 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
4948nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
5049adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
5147, 50subcld 9367 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  k )  e.  CC )
5222, 51subcld 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  ( N  -  k ) )  e.  CC )
53 subcl 9261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( B  -  k
)  e.  CC )
545, 49, 53syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B  -  k )  e.  CC )
5542, 52, 54adddid 9068 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  -  ( N  -  k
) )  +  ( B  -  k ) ) )  =  ( ( ( ( A FallFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  +  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) ) ) )
564, 8subcld 9367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  -  N
)  e.  CC )
5756adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  N )  e.  CC )
585adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  CC )
5957, 50, 58ppncand 9407 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A  -  N )  +  k )  +  ( B  -  k ) )  =  ( ( A  -  N )  +  B ) )
6022, 47, 50subsubd 9395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  ( N  -  k ) )  =  ( ( A  -  N )  +  k ) )
6160oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  -  ( N  -  k )
)  +  ( B  -  k ) )  =  ( ( ( A  -  N )  +  k )  +  ( B  -  k
) ) )
6222, 58, 47addsubd 9388 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( ( A  -  N )  +  B ) )
6359, 61, 623eqtr4rd 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( ( A  -  ( N  -  k ) )  +  ( B  -  k
) ) )
6463oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  -  ( N  -  k
) )  +  ( B  -  k ) ) ) )
65 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
6747, 66, 50addsubd 9388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
6867oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
69 fallfacp1 25298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  k
) )  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) ) )
7022, 35, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k
) ) ) )
7168, 70eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k
) ) ) )
7271oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
7337, 52, 41mul32d 9232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) ) )
7472, 73eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) ) )
75 fallfacp1 25298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) )
765, 48, 75syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( ( B FallFac  k )  x.  ( B  -  k
) ) )
7776oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) ) )
7837, 41, 54mulassd 9067 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) ) )
7977, 78eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) ) )
8074, 79oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) )  +  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  x.  ( B  -  k )
) ) )
8155, 64, 803eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )
8281oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  x.  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )  =  ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
834adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
84 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
857, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
8685nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
87 zsubcl 10275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  k
)  e.  ZZ )
8886, 17, 87syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  ZZ )
89 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  <_  ( N  +  1 ) )
9089adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  <_  ( N  +  1 ) )
9185adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
9291nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
9338adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
9493nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
9592, 94subge0d 9572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
0  <_  ( ( N  +  1 )  -  k )  <->  k  <_  ( N  +  1 ) ) )
9690, 95mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )
97 elnn0z 10250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0  <->  ( ( ( N  +  1 )  -  k )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( N  + 
1 )  -  k
) ) )
9888, 96, 97sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
99 fallfaccl 25284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( N  + 
1 )  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
10083, 98, 99syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  e.  CC )
10116, 100syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  e.  CC )
102101, 41mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
103 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
10448, 103syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN0 )
105 fallfaccl 25284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
1065, 104, 105syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
10737, 106mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  e.  CC )
10821, 102, 107adddid 9068 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
10946, 82, 1083eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
110109sumeq2dv 12452 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
111 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  j
) )
112 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( N  -  k )  =  ( N  -  j ) )
113112oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( A FallFac  ( N  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( N  -  j ) ) )
114 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  (
k  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
115114oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) )
116113, 115oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )
117111, 116oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) ) )
118117cbvsumv 12445 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )
119 1z 10267 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
120119a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
121 0z 10249 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
122121a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
1234, 5, 7binomfallfaclem1 25306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
124 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  _C  j )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
125 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  -  j )  =  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )
126125oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  j
) )  =  ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) ) )
127 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
128127oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( B FallFac  ( j  +  1 ) )  =  ( B FallFac  ( ( k  -  1 )  +  1 ) ) )
129126, 128oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )
130124, 129oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
131120, 122, 10, 123, 130fsumshft 12518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
132118, 131syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
133 0p1e1 10049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  +  1 )  =  1
134 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN0
135 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
136134, 135eleqtri 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
137133, 136eqeltri 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
138 fzss1 11047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
139137, 138ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
140139sseli 3304 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
1418adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
14217zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  CC )
143142adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
14465a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
145141, 143, 144subsub3d 9397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  k ) )
146145oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A FallFac  ( N  -  (
k  -  1 ) ) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) ) )
14765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  1  e.  CC )
148142, 147npcand 9371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
149148oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( B FallFac  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( B FallFac  k ) )
150149adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B FallFac  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( B FallFac  k ) )
151146, 150oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
152151oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
153140, 152sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
154153sumeq2dv 12452 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
155132, 154eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
156155oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
157100, 40mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
15820, 157mulcld 9064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
15916, 158syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
1604, 5, 7binomfallfaclem1 25306 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
1613, 159, 160fsumadd 12487 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
1627, 135syl6eleq 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
163 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
164 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )
165164oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) ) )
166 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( B FallFac  k )  =  ( B FallFac  ( N  + 
1 ) ) )
167165, 166oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )
168163, 167oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( N  _C  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )
169162, 158, 168fsump1 12495 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
17028ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
171170olcd 383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )
172 bcval4 11553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
1737, 86, 171, 172syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
174173oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )
17585nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
176175subidd 9355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  =  0 )
177176oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( A FallFac  0
) )
178 0nn0 10192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
179 fallfaccl 25284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  0 )  e.  CC )
1804, 178, 179sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  0 )  e.  CC )
181177, 180eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
182 fallfaccl 25284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
1835, 85, 182syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
184181, 183mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( B FallFac 
( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
185184mul02d 9220 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  0 )
186174, 185eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  0 )
187186oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  0 ) )
1883, 159fsumcl 12482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  e.  CC )
189188addid1d 9222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
190169, 187, 1893eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
19185, 135syl6eleq 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
192 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
19317, 192syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
194 bccl 11568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
1957, 193, 194syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
196195nn0cnd 10232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
197196, 157mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
198 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
199 df-neg 9250 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
200198, 199syl6eqr 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  -u 1 )
201200oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  =  ( N  _C  -u 1
) )
202 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) )
203202oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) ) )
204 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( B FallFac  k )  =  ( B FallFac  0 ) )
205203, 204oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )
206201, 205oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( N  _C  -u 1
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) )  x.  ( B FallFac  0 ) ) ) )
207191, 197, 206fsum1p 12494 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  =  ( ( ( N  _C  -u 1 )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
208 znegcl 10269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
209119, 208ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  ZZ
210 0lt1 9506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
211 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
212 lt0neg2 9491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
213211, 212ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
214210, 213mpbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  <  0
215214orci 380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  <  0  \/  N  <  -u 1 )
216 bcval4 11553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  -u 1  e.  ZZ  /\  ( -u 1  <  0  \/  N  <  -u 1
) )  ->  ( N  _C  -u 1 )  =  0 )
217209, 215, 216mp3an23 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  -u 1 )  =  0 )
2187, 217syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  _C  -u 1
)  =  0 )
219218oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  -u 1 )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) ) )
220175subid1d 9356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  0 )  =  ( N  +  1 ) )
221220, 85eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  0 )  e.  NN0 )
222 fallfaccl 25284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( N  + 
1 )  -  0 )  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  e.  CC )
2234, 221, 222syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  e.  CC )
224 fallfaccl 25284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  0 )  e.  CC )
2255, 178, 224sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B FallFac  0 )  e.  CC )
226223, 225mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) )  e.  CC )
227226mul02d 9220 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  0 )
228219, 227eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  -u 1 )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  0 )
229228oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  -u 1 )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )  =  ( 0  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
230 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
231140, 197sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
232230, 231fsumcl 12482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  e.  CC )
233232addid2d 9223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
234207, 229, 2333eqtrd 2440 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
235190, 234oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
236156, 161, 2353eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) )
23744, 110, 2363eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
2382, 237sylan9eqr 2458 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  B ) FallFac  N
)  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
239 fallfacp1 25298 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( A  +  B ) FallFac  N
)  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
2406, 7, 239syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( A  +  B ) FallFac  N
)  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
241240adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( A  +  B ) FallFac  N
)  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
24220, 196, 157adddird 9069 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
243 bcpasc 11567 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
2447, 17, 243syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
245244oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( N  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
246242, 245eqtr3d 2438 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )
247246sumeq2dv 12452 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )
248 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
249248, 158, 197fsumadd 12487 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) )
250247, 249eqtr3d 2438 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
251250adantr 452 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
252238, 241, 2513eqtr4d 2446 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    _C cbc 11548   sum_csu 12434   FallFac cfallfac 25273
This theorem is referenced by:  binomfallfac  25308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-prod 25185  df-fallfac 25276
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