Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfplem1 Unicode version

Theorem bfplem1 25712
 Description: Lemma for bfp 25714. The sequence , which simply starts from any point in the space and iterates , satisfies the property that the distance from to decreases by at least after each step. Thus the total distance from any to is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2
bfp.3
bfp.4
bfp.5
bfp.6
bfp.7
bfp.8
bfp.9
bfp.10
Assertion
Ref Expression
bfplem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem bfplem1
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . 3
2 cmetmet 18544 . . . . 5
31, 2syl 17 . . . 4
4 nnuz 10142 . . . . 5
5 bfp.10 . . . . 5
6 1z 9932 . . . . . 6
76a1i 12 . . . . 5
8 bfp.9 . . . . 5
9 bfp.6 . . . . 5
104, 5, 7, 8, 9algrf 12617 . . . 4
11 ffvelrn 5515 . . . . . . 7
129, 8, 11syl2anc 645 . . . . . 6
13 metcl 17729 . . . . . 6
143, 8, 12, 13syl3anc 1187 . . . . 5
15 bfp.4 . . . . 5
1614, 15rerpdivcld 10296 . . . 4
17 bfp.5 . . . 4
18 fveq2 5377 . . . . . . . . 9
19 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10
2019fveq2d 5381 . . . . . . . . 9
2118, 20oveq12d 5728 . . . . . . . 8
22 oveq2 5718 . . . . . . . . 9
2322oveq2d 5726 . . . . . . . 8
2421, 23breq12d 3933 . . . . . . 7
2524imbi2d 309 . . . . . 6
26 fveq2 5377 . . . . . . . . 9
27 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10
2827fveq2d 5381 . . . . . . . . 9
2926, 28oveq12d 5728 . . . . . . . 8
30 oveq2 5718 . . . . . . . . 9
3130oveq2d 5726 . . . . . . . 8
3229, 31breq12d 3933 . . . . . . 7
3332imbi2d 309 . . . . . 6
34 fveq2 5377 . . . . . . . . 9
35 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10
3635fveq2d 5381 . . . . . . . . 9
3734, 36oveq12d 5728 . . . . . . . 8
38 oveq2 5718 . . . . . . . . 9
3938oveq2d 5726 . . . . . . . 8
4037, 39breq12d 3933 . . . . . . 7
4140imbi2d 309 . . . . . 6
4214leidd 9219 . . . . . . 7
434, 5, 7, 8algr0 12616 . . . . . . . 8
44 1nn 9637 . . . . . . . . . 10
454, 5, 7, 8, 9algrp1 12618 . . . . . . . . . 10
4644, 45mpan2 655 . . . . . . . . 9
4743fveq2d 5381 . . . . . . . . 9
4846, 47eqtrd 2285 . . . . . . . 8
4943, 48oveq12d 5728 . . . . . . 7
5015rpred 10269 . . . . . . . . . . 11
5150recnd 8741 . . . . . . . . . 10
5251exp1d 11118 . . . . . . . . 9
5352oveq2d 5726 . . . . . . . 8
5414recnd 8741 . . . . . . . . 9
5515rpne0d 10274 . . . . . . . . 9
5654, 51, 55divcan1d 9417 . . . . . . . 8
5753, 56eqtrd 2285 . . . . . . 7
5842, 49, 573brtr4d 3950 . . . . . 6
59 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . 13
6010, 59sylan 459 . . . . . . . . . . . 12
61 peano2nn 9638 . . . . . . . . . . . . 13
62 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . 13
6310, 61, 62syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12
6460, 63jca 520 . . . . . . . . . . 11
65 bfp.7 . . . . . . . . . . . . 13
6665ralrimivva 2597 . . . . . . . . . . . 12
6766adantr 453 . . . . . . . . . . 11
68 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . 14
6968oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . 13
70 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . 14
7170oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13
7269, 71breq12d 3933 . . . . . . . . . . . 12
73 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . 14
7473oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13
75 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . 14
7675oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13
7774, 76breq12d 3933 . . . . . . . . . . . 12
7872, 77rcla42v 2827 . . . . . . . . . . 11
7964, 67, 78sylc 58 . . . . . . . . . 10
803adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
819adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
82 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . 13
8381, 60, 82syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12
84 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . 13
8581, 63, 84syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12
86 metcl 17729 . . . . . . . . . . . 12
8780, 83, 85, 86syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11
8850adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
89 metcl 17729 . . . . . . . . . . . . 13
9080, 60, 63, 89syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12
9188, 90remulcld 8743 . . . . . . . . . . 11
9216adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
9361adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14
9493nnnn0d 9897 . . . . . . . . . . . . 13
9588, 94reexpcld 11140 . . . . . . . . . . . 12
9692, 95remulcld 8743 . . . . . . . . . . 11
97 letr 8794 . . . . . . . . . . 11
9887, 91, 96, 97syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10
9979, 98mpand 659 . . . . . . . . 9
100 nnnn0 9851 . . . . . . . . . . . . 13
101 reexpcl 10998 . . . . . . . . . . . . 13
10250, 100, 101syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12
10392, 102remulcld 8743 . . . . . . . . . . 11
10415rpgt0d 10272 . . . . . . . . . . . 12
105104adantr 453 . . . . . . . . . . 11
106 lemul1 9488 . . . . . . . . . . 11
10790, 103, 88, 105, 106syl112anc 1191 . . . . . . . . . 10
10890recnd 8741 . . . . . . . . . . . 12
10951adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
110108, 109mulcomd 8736 . . . . . . . . . . 11
11192recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13
112102recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13
113111, 112, 109mulassd 8738 . . . . . . . . . . . 12
114 expp1 10988 . . . . . . . . . . . . . 14
11551, 100, 114syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13
116115oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12
117113, 116eqtr4d 2288 . . . . . . . . . . 11
118110, 117breq12d 3933 . . . . . . . . . 10
119107, 118bitrd 246 . . . . . . . . 9
1204, 5, 7, 8, 9algrp1 12618 . . . . . . . . . . 11
1214, 5, 7, 8, 9algrp1 12618 . . . . . . . . . . . 12
12261, 121sylan2 462 . . . . . . . . . . 11
123120, 122oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10
124123breq1d 3930 . . . . . . . . 9
12599, 119, 1243imtr4d 261 . . . . . . . 8
126125expcom 426 . . . . . . 7
127126a2d 25 . . . . . 6
12825, 33, 41, 33, 58, 127nnind 9644 . . . . 5
129128impcom 421 . . . 4
1303, 10, 16, 15, 17, 129geomcau 25641 . . 3
131 bfp.8 . . . 4
132131cmetcau 18547 . . 3
1331, 130, 132syl2anc 645 . 2
134 metxmet 17731 . . . 4
135131methaus 17898 . . . 4
1363, 134, 1353syl 20 . . 3
137 lmfun 16941 . . 3
138 funfvbrb 5490 . . 3
139136, 137, 1383syl 20 . 2
140133, 139mpbid 203 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wral 2509  c0 3362  csn 3544   class class class wbr 3920   cxp 4578   cdm 4580   ccom 4584   wfun 4586  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710  c1st 5972  cc 8615  cr 8616  cc0 8617  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622   clt 8747   cle 8748   cdiv 9303  cn 9626  cn0 9844  cz 9903  crp 10233   cseq 10924  cexp 10982  cxmt 16201  cme 16202  cmopn 16204  clm 16788  cha 16868  cca 18511  cms 18512 This theorem is referenced by:  bfplem2  25713 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-rest 13201  df-topgen 13218  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-ntr 16589  df-nei 16667  df-lm 16791  df-haus 16875  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515
 Copyright terms: Public domain W3C validator