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Theorem bfplem1 25712
Description: Lemma for bfp 25714. The sequence  G, which simply starts from any point in the space and iterates  F, satisfies the property that the distance from  G ( n ) to  G ( n  + 
1 ) decreases by at least  K after each step. Thus the total distance from any  G ( i ) to  G ( j ) is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point  ( ( ~~> t `  J
) `  G ) since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bfp.3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
bfp.4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
bfp.5  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
bfp.6  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
bfp.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
bfp.8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
bfp.9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
bfp.10  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
Assertion
Ref Expression
bfplem1  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, G, y    x, J, y    ph, x, y   
x, F, y    x, K, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem bfplem1
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 18544 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 nnuz 10142 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 bfp.10 . . . . 5  |-  G  =  seq  1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
6 1z 9932 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
76a1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
8 bfp.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 bfp.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
104, 5, 7, 8, 9algrf 12617 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : NN --> X )
11 ffvelrn 5515 . . . . . . 7  |-  ( ( F : X --> X  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  A
)  e.  X )
129, 8, 11syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  X )
13 metcl 17729 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  A )  e.  X )  ->  ( A D ( F `  A ) )  e.  RR )
143, 8, 12, 13syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D ( F `  A ) )  e.  RR )
15 bfp.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
1614, 15rerpdivcld 10296 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  e.  RR )
17 bfp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
18 fveq2 5377 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( G `  j )  =  ( G ` 
1 ) )
19 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  1  ->  (
j  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
2019fveq2d 5381 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( 1  +  1 ) ) )
2118, 20oveq12d 5728 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  (
( G `  j
) D ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 1 ) D ( G `  (
1  +  1 ) ) ) )
22 oveq2 5718 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( K ^ j )  =  ( K ^ 1 ) )
2322oveq2d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ j ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) ) )
2421, 23breq12d 3933 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
j ) )  <->  ( ( G `  1 ) D ( G `  ( 1  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) ) ) )
2524imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ j ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( G `  1
) D ( G `
 ( 1  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) ) ) ) )
26 fveq2 5377 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  j )  =  ( G `  k ) )
27 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2827fveq2d 5381 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
2926, 28oveq12d 5728 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( G `  j
) D ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
30 oveq2 5718 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( K ^ j )  =  ( K ^ k
) )
3130oveq2d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ j ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) ) )
3229, 31breq12d 3933 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
j ) )  <->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) ) ) )
3332imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ j ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) ) ) ) )
34 fveq2 5377 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( G `  j )  =  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
35 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
3635fveq2d 5381 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )
3734, 36oveq12d 5728 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G `  j
) D ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 ( k  +  1 ) ) D ( G `  (
( k  +  1 )  +  1 ) ) ) )
38 oveq2 5718 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( K ^ j )  =  ( K ^ (
k  +  1 ) ) )
3938oveq2d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ j ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) )
4037, 39breq12d 3933 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
j ) )  <->  ( ( G `  ( k  +  1 ) ) D ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
4140imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ j ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( G `  (
k  +  1 ) ) D ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
4214leidd 9219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D ( F `  A ) )  <_  ( A D ( F `  A ) ) )
434, 5, 7, 8algr0 12616 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  A )
44 1nn 9637 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
454, 5, 7, 8, 9algrp1 12618 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  e.  NN )  ->  ( G `
 ( 1  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  1 )
) )
4644, 45mpan2 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  (
1  +  1 ) )  =  ( F `
 ( G ` 
1 ) ) )
4743fveq2d 5381 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  1 )
)  =  ( F `
 A ) )
4846, 47eqtrd 2285 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  (
1  +  1 ) )  =  ( F `
 A ) )
4943, 48oveq12d 5728 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 ) D ( G `  ( 1  +  1 ) ) )  =  ( A D ( F `  A ) ) )
5015rpred 10269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
5150recnd 8741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
5251exp1d 11118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 1 )  =  K )
5352oveq2d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  K ) )
5414recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D ( F `  A ) )  e.  CC )
5515rpne0d 10274 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
5654, 51, 55divcan1d 9417 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  K
)  =  ( A D ( F `  A ) ) )
5753, 56eqtrd 2285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) )  =  ( A D ( F `  A
) ) )
5842, 49, 573brtr4d 3950 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 ) D ( G `  ( 1  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
1 ) ) )
59 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : NN --> X  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k
)  e.  X )
6010, 59sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  X )
61 peano2nn 9638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
62 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : NN --> X  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
6310, 61, 62syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 ( k  +  1 ) )  e.  X )
6460, 63jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k )  e.  X  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X ) )
65 bfp.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
6665ralrimivva 2597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
6766adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) ) )
68 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
6968oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  x
) D ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  k ) ) D ( F `  y
) ) )
70 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  (
x D y )  =  ( ( G `
 k ) D y ) )
7170oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  ( K  x.  ( x D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) ) )
7269, 71breq12d 3933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  (
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) ) ) )
73 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )
7473oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( F `  ( G `  k )
) D ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
75 oveq2 5718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( G `  k
) D y )  =  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
7675oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7774, 76breq12d 3933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 y ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7872, 77rcla42v 2827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  X  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) )  ->  ( ( F `
 ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7964, 67, 78sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( G `
 k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
803adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
819adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : X
--> X )
82 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : X --> X  /\  ( G `  k )  e.  X )  -> 
( F `  ( G `  k )
)  e.  X )
8381, 60, 82syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( G `  k ) )  e.  X )
84 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : X --> X  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  X )
8581, 63, 84syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  X )
86 metcl 17729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( G `  k ) )  e.  X  /\  ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  X )  ->  (
( F `  ( G `  k )
) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8780, 83, 85, 86syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( G `
 k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8850adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
89 metcl 17729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
9080, 60, 63, 89syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
9188, 90remulcld 8743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
9216adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  e.  RR )
9361adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
9493nnnn0d 9897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
9588, 94reexpcld 11140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR )
9692, 95remulcld 8743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
97 letr 8794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( F `  ( G `
 k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  /\  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
9887, 91, 96, 97syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  /\  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
9979, 98mpand 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( F `  ( G `  k )
) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
100 nnnn0 9851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
101 reexpcl 10998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( K ^ k
)  e.  RR )
10250, 100, 101syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ k )  e.  RR )
10392, 102remulcld 8743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
k ) )  e.  RR )
10415rpgt0d 10272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  K )
105104adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
K )
106 lemul1 9488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) )  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  <-> 
( ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) )  x.  K
)  <_  ( (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  x.  K ) ) )
10790, 103, 88, 105, 106syl112anc 1191 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  <->  ( (
( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  K )  <_ 
( ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  x.  K
) ) )
10890recnd 8741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
10951adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
110108, 109mulcomd 8736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  K )  =  ( K  x.  (
( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
11192recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  e.  CC )
112102recnd 8741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ k )  e.  CC )
113111, 112, 109mulassd 8738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  x.  K )  =  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  (
( K ^ k
)  x.  K ) ) )
114 expp1 10988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( K ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( K ^ k )  x.  K ) )
11551, 100, 114syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( K ^
k )  x.  K
) )
116115oveq2d 5726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  (
( K ^ k
)  x.  K ) ) )
117113, 116eqtr4d 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  x.  K )  =  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) )
118110, 117breq12d 3933 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  x.  K )  <_  ( ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
k ) )  x.  K )  <->  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
119107, 118bitrd 246 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  <->  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
1204, 5, 7, 8, 9algrp1 12618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
1214, 5, 7, 8, 9algrp1 12618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( (
k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )
12261, 121sylan2 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )
123120, 122oveq12d 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  ( k  +  1 ) ) D ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
124123breq1d 3930 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  (
k  +  1 ) ) D ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
12599, 119, 1243imtr4d 261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  ->  (
( G `  (
k  +  1 ) ) D ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
126125expcom 426 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) )  ->  ( ( G `
 ( k  +  1 ) ) D ( G `  (
( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
127126a2d 25 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( G `  ( k  +  1 ) ) D ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
12825, 33, 41, 33, 58, 127nnind 9644 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) ) ) )
129128impcom 421 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) ) )
1303, 10, 16, 15, 17, 129geomcau 25641 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Cau `  D ) )
131 bfp.8 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
132131cmetcau 18547 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  G  e.  ( Cau `  D
) )  ->  G  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
1331, 130, 132syl2anc 645 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
134 metxmet 17731 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
135131methaus 17898 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
1363, 134, 1353syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
137 lmfun 16941 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
138 funfvbrb 5490 . . 3  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( G  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  G ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
139136, 137, 1383syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  dom  (
~~> t `  J )  <-> 
G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )
140133, 139mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   (/)c0 3362   {csn 3544   class class class wbr 3920    X. cxp 4578   dom cdm 4580    o. ccom 4584   Fun wfun 4586   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   1stc1st 5972   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    < clt 8747    <_ cle 8748    / cdiv 9303   NNcn 9626   NN0cn0 9844   ZZcz 9903   RR+crp 10233    seq cseq 10924   ^cexp 10982   * Metcxmt 16201   Metcme 16202   MetOpencmopn 16204   ~~> tclm 16788   Hauscha 16868   Caucca 18511   CMetcms 18512
This theorem is referenced by:  bfplem2  25713
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-rest 13201  df-topgen 13218  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-ntr 16589  df-nei 16667  df-lm 16791  df-haus 16875  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-cfil 18513  df-cau 18514  df-cmet 18515
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