MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Unicode version

Theorem basellem1 20150
Description: Lemma for basel 20159. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
Assertion
Ref Expression
basellem1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 10697 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  e.  NN )
21nnrpd 10268 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  e.  RR+ )
3 pire 19664 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
4 pipos 19665 . . . . . 6  |-  0  <  pi
53, 4elrpii 10236 . . . . 5  |-  pi  e.  RR+
6 rpmulcl 10254 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
72, 5, 6sylancl 646 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
8 basel.n . . . . . 6  |-  N  =  ( ( 2  x.  M )  +  1 )
9 2nn 9756 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
10 nnmulcl 9649 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  M  e.  NN )  ->  ( 2  x.  M
)  e.  NN )
119, 10mpan 654 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  (
2  x.  M )  e.  NN )
1211peano2nnd 9643 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 2  x.  M
)  +  1 )  e.  NN )
138, 12syl5eqel 2337 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  NN )
1413nnrpd 10268 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
15 rpdivcl 10255 . . . 4  |-  ( ( ( K  x.  pi )  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  (
( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
167, 14, 15syl2anr 466 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR+ )
1716rpred 10269 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR )
1816rpgt0d 10272 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  (
( K  x.  pi )  /  N ) )
191adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  NN )
20 nnmulcl 9649 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  NN  /\  2  e.  NN )  ->  ( K  x.  2 )  e.  NN )
2119, 9, 20sylancl 646 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  e.  NN )
2221nnred 9641 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  e.  RR )
2311adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  e.  NN )
2423nnred 9641 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  e.  RR )
2513adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  NN )
2625nnred 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  N  e.  RR )
278, 26syl5eqelr 2338 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( 2  x.  M )  +  1 )  e.  RR )
2819nncnd 9642 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  CC )
29 2cn 9696 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
30 mulcom 8703 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( K  x.  2 )  =  ( 2  x.  K ) )
3128, 29, 30sylancl 646 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  =  ( 2  x.  K ) )
32 elfzle2 10678 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 1 ... M )  ->  K  <_  M )
3332adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  <_  M
)
3419nnred 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  e.  RR )
35 nnre 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
3635adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  M  e.  RR )
37 2re 9695 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
38 2pos 9708 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
3937, 38pm3.2i 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
4039a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
41 lemul2 9489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( K  <_  M 
<->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  M ) ) )
4234, 36, 40, 41syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  <_  M 
<->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  M ) ) )
4333, 42mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  K )  <_  (
2  x.  M ) )
4431, 43eqbrtrd 3940 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <_  (
2  x.  M ) )
4524ltp1d 9567 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  x.  M )  <  (
( 2  x.  M
)  +  1 ) )
4622, 24, 27, 44, 45lelttrd 8854 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <  (
( 2  x.  M
)  +  1 ) )
4746, 8syl6breqr 3960 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  2 )  <  N
)
48 remulcl 8702 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( K  x.  pi )  e.  RR )
4934, 3, 48sylancl 646 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR )
5021nngt0d 9669 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( K  x.  2 ) )
5125nngt0d 9669 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  N
)
527adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( K  x.  pi )  e.  RR+ )
5352rpgt0d 10272 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  0  <  ( K  x.  pi )
)
54 ltdiv2OLD 9522 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  x.  2 )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( K  x.  pi )  e.  RR )  /\  ( 0  <  ( K  x.  2 )  /\  0  <  N  /\  0  <  ( K  x.  pi ) ) )  ->  ( ( K  x.  2 )  <  N  <->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) ) )
5522, 26, 49, 50, 51, 53, 54syl33anc 1202 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  2 )  < 
N  <->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) ) )
5647, 55mpbid 203 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) ) )
573recni 8729 . . . . 5  |-  pi  e.  CC
5857a1i 12 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  pi  e.  CC )
59 2ne0 9709 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
6029, 59pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
6160a1i 12 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )
6219nnne0d 9670 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  K  =/=  0
)
63 divcan5 9342 . . . 4  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( K  e.  CC  /\  K  =/=  0 ) )  -> 
( ( K  x.  pi )  /  ( K  x.  2 ) )  =  ( pi 
/  2 ) )
6458, 61, 28, 62, 63syl112anc 1191 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  / 
( K  x.  2 ) )  =  ( pi  /  2 ) )
6556, 64breqtrd 3944 . 2  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) )
66 0xr 8758 . . 3  |-  0  e.  RR*
67 rehalfcl 9817 . . . 4  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR )
68 rexr 8757 . . . 4  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
pi  /  2 )  e.  RR* )
693, 67, 68mp2b 11 . . 3  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
70 elioo2 10575 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
pi  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( ( K  x.  pi )  /  N
)  e.  ( 0 (,) ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR  /\  0  < 
( ( K  x.  pi )  /  N
)  /\  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) ) ) )
7166, 69, 70mp2an 656 . 2  |-  ( ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) (
pi  /  2 ) )  <->  ( ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  RR  /\  0  < 
( ( K  x.  pi )  /  N
)  /\  ( ( K  x.  pi )  /  N )  <  (
pi  /  2 ) ) )
7217, 18, 65, 71syl3anbrc 1141 1  |-  ( ( M  e.  NN  /\  K  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( K  x.  pi )  /  N )  e.  ( 0 (,) ( pi 
/  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622   RR*cxr 8746    < clt 8747    <_ cle 8748    / cdiv 9303   NNcn 9626   2c2 9675   RR+crp 10233   (,)cioo 10534   ...cfz 10660   picpi 12222
This theorem is referenced by:  basellem4  20153  basellem8  20157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049
  Copyright terms: Public domain W3C validator