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Theorem ballotth 24748
Description: Bertrand's ballot problem : the probability that A is ahead throughout the counting. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotth  |-  ( P `
 E )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k   
i, E, k    k, I, c    E, c    i, I, c    S, k, i, c    R, i, k    x, c, F    x, M    x, N, k, i    x, E   
x, O
Allowed substitution hints:    P( x, i, k, c)    R( x, c)    S( x)    I( x)

Proof of Theorem ballotth
StepHypRef Expression
1 ballotth.e . . . . . 6  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
2 ssrab2 3388 . . . . . 6  |-  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `
 c ) `  i ) }  C_  O
31, 2eqsstri 3338 . . . . 5  |-  E  C_  O
4 fzfi 11266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
5 pwfi 7360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  e.  Fin  <->  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin )
64, 5mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
7 ballotth.o . . . . . . . . . . 11  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
8 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . 11  |-  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  C_ 
~P ( 1 ... ( M  +  N
) )
97, 8eqsstri 3338 . . . . . . . . . 10  |-  O  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)
10 ssfi 7288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  e.  Fin  /\  O  C_  ~P (
1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  O  e.  Fin )
116, 9, 10mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  O  e. 
Fin
12 ssfi 7288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  e.  Fin  /\  E  C_  O )  ->  E  e.  Fin )
1311, 3, 12mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  E  e. 
Fin
1413elexi 2925 . . . . . . 7  |-  E  e. 
_V
1514elpw 3765 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ~P O  <->  E  C_  O
)
16 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  E  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  E
) )
1716oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  (
( # `  x )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( # `  E
)  /  ( # `  O ) ) )
18 ballotth.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
19 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  E )  /  ( # `  O
) )  e.  _V
2017, 18, 19fvmpt 5765 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ~P O  -> 
( P `  E
)  =  ( (
# `  E )  /  ( # `  O
) ) )
2115, 20sylbir 205 . . . . 5  |-  ( E 
C_  O  ->  ( P `  E )  =  ( ( # `  E )  /  ( # `
 O ) ) )
223, 21ax-mp 8 . . . 4  |-  ( P `
 E )  =  ( ( # `  E
)  /  ( # `  O ) )
23 hashssdif 11632 . . . . . . . 8  |-  ( ( O  e.  Fin  /\  E  C_  O )  -> 
( # `  ( O 
\  E ) )  =  ( ( # `  O )  -  ( # `
 E ) ) )
2411, 3, 23mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  =  ( ( # `  O
)  -  ( # `  E ) )
2524eqcomi 2408 . . . . . 6  |-  ( (
# `  O )  -  ( # `  E
) )  =  (
# `  ( O  \  E ) )
26 hashcl 11594 . . . . . . . . 9  |-  ( O  e.  Fin  ->  ( # `
 O )  e. 
NN0 )
2711, 26ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  O )  e.  NN0
2827nn0cni 10189 . . . . . . 7  |-  ( # `  O )  e.  CC
29 hashcl 11594 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  Fin  ->  ( # `
 E )  e. 
NN0 )
3013, 29ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  E )  e.  NN0
3130nn0cni 10189 . . . . . . 7  |-  ( # `  E )  e.  CC
32 difss 3434 . . . . . . . . . 10  |-  ( O 
\  E )  C_  O
33 ssfi 7288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O  e.  Fin  /\  ( O  \  E ) 
C_  O )  -> 
( O  \  E
)  e.  Fin )
3411, 32, 33mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( O 
\  E )  e. 
Fin
35 hashcl 11594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O  \  E )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( O  \  E ) )  e. 
NN0 )
3634, 35ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  e.  NN0
3736nn0cni 10189 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  e.  CC
3828, 31, 37subsub23i 9346 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  O
)  -  ( # `  E ) )  =  ( # `  ( O  \  E ) )  <-> 
( ( # `  O
)  -  ( # `  ( O  \  E
) ) )  =  ( # `  E
) )
3925, 38mpbi 200 . . . . 5  |-  ( (
# `  O )  -  ( # `  ( O  \  E ) ) )  =  ( # `  E )
4039oveq1i 6050 . . . 4  |-  ( ( ( # `  O
)  -  ( # `  ( O  \  E
) ) )  / 
( # `  O ) )  =  ( (
# `  E )  /  ( # `  O
) )
4122, 40eqtr4i 2427 . . 3  |-  ( P `
 E )  =  ( ( ( # `  O )  -  ( # `
 ( O  \  E ) ) )  /  ( # `  O
) )
42 ballotth.m . . . . . . 7  |-  M  e.  NN
43 ballotth.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
4442, 43, 7ballotlem1 24697 . . . . . 6  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
4542nnnn0i 10185 . . . . . . . . 9  |-  M  e. 
NN0
46 nnaddcl 9978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
4742, 43, 46mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  NN
4847nnnn0i 10185 . . . . . . . . 9  |-  ( M  +  N )  e. 
NN0
4942nnrei 9965 . . . . . . . . . 10  |-  M  e.  RR
5043nnnn0i 10185 . . . . . . . . . 10  |-  N  e. 
NN0
5149, 50nn0addge1i 10224 . . . . . . . . 9  |-  M  <_ 
( M  +  N
)
52 elfz2nn0 11038 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  N )  e. 
NN0  /\  M  <_  ( M  +  N ) ) )
5345, 48, 51, 52mpbir3an 1136 . . . . . . . 8  |-  M  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
)
54 bccl2 11569 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( M  +  N
) )  ->  (
( M  +  N
)  _C  M )  e.  NN )
5553, 54ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( M  +  N )  _C  M )  e.  NN
5655nnne0i 9990 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  _C  M )  =/=  0
5744, 56eqnetri 2584 . . . . 5  |-  ( # `  O )  =/=  0
5828, 57pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( (
# `  O )  e.  CC  /\  ( # `  O )  =/=  0
)
59 divsubdir 9666 . . . 4  |-  ( ( ( # `  O
)  e.  CC  /\  ( # `  ( O 
\  E ) )  e.  CC  /\  (
( # `  O )  e.  CC  /\  ( # `
 O )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( # `  O )  -  ( # `
 ( O  \  E ) ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( ( # `  O
)  /  ( # `  O ) )  -  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) ) ) )
6028, 37, 58, 59mp3an 1279 . . 3  |-  ( ( ( # `  O
)  -  ( # `  ( O  \  E
) ) )  / 
( # `  O ) )  =  ( ( ( # `  O
)  /  ( # `  O ) )  -  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
6128, 57dividi 9703 . . . 4  |-  ( (
# `  O )  /  ( # `  O
) )  =  1
6261oveq1i 6050 . . 3  |-  ( ( ( # `  O
)  /  ( # `  O ) )  -  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) ) )  =  ( 1  -  (
( # `  ( O 
\  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
6341, 60, 623eqtri 2428 . 2  |-  ( P `
 E )  =  ( 1  -  (
( # `  ( O 
\  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
64 ballotth.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
65 ballotth.mgtn . . . . . . 7  |-  N  < 
M
66 ballotth.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
67 ballotth.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
68 ballotth.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
6942, 43, 7, 18, 64, 1, 65, 66, 67, 68ballotlem8 24747 . . . . . 6  |-  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )  =  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )
7069oveq1i 6050 . . . . 5  |-  ( (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c } )  +  ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )
7170oveq1i 6050 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )
72 rabxm 3610 . . . . . . 7  |-  ( O 
\  E )  =  ( { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  u.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
7372fveq2i 5690 . . . . . 6  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  =  (
# `  ( {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }  u.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )
74 ssrab2 3388 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  ( O  \  E )
7574, 32sstri 3317 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  O
7675, 9sstri 3317 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)
77 ssfi 7288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  e.  Fin  /\ 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  ~P (
1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  e.  Fin )
786, 76, 77mp2an 654 . . . . . . 7  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  e.  Fin
79 ssrab2 3388 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  ( O  \  E
)
8079, 32sstri 3317 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  O
8180, 9sstri 3317 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_ 
~P ( 1 ... ( M  +  N
) )
82 ssfi 7288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  e.  Fin  /\ 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
) )  ->  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin )
836, 81, 82mp2an 654 . . . . . . 7  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin
84 rabnc 3611 . . . . . . 7  |-  ( { c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }  i^i  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  =  (/)
85 hashun 11611 . . . . . . 7  |-  ( ( { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  e.  Fin  /\  { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin  /\  ( { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  i^i  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
)  =  (/) )  -> 
( # `  ( { c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }  u.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) ) )
8678, 83, 84, 85mp3an 1279 . . . . . 6  |-  ( # `  ( { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  u.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
8773, 86eqtri 2424 . . . . 5  |-  ( # `  ( O  \  E
) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
8887oveq1i 6050 . . . 4  |-  ( (
# `  ( O  \  E ) )  / 
( # `  O ) )  =  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )  +  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )
89 ssrab2 3388 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O
9011elexi 2925 . . . . . . . . . 10  |-  O  e. 
_V
9190elpw2 4324 . . . . . . . . 9  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  <->  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O )
9289, 91mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O
93 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } ) )
9493oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  (
( # `  x )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
95 ovex 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  e. 
_V
9694, 18, 95fvmpt 5765 . . . . . . . 8  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  ->  ( P `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
9792, 96ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
9842, 43, 7, 18ballotlem2 24699 . . . . . . 7  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
99 nfrab1 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ c { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
100 nfrab1 2848 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ c { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
10199, 100dfss2f 3299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  <->  A. c
( c  e.  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  c  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
10242, 43, 7, 18, 64, 1ballotlem4 24709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  O  ->  ( -.  1  e.  c  ->  -.  c  e.  E
) )
103102imdistani 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  ->  ( c  e.  O  /\  -.  c  e.  E ) )
104 rabid 2844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  <->  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c ) )
105 eldif 3290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  <->  ( c  e.  O  /\  -.  c  e.  E ) )
106103, 104, 1053imtr4i 258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  c  e.  ( O  \  E
) )
107104simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  -.  1  e.  c )
108 rabid 2844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  <->  ( c  e.  ( O  \  E
)  /\  -.  1  e.  c ) )
109106, 107, 108sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )
110101, 109mpgbir 1556 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_ 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
111 rabss2 3386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O  \  E ) 
C_  O  ->  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_ 
{ c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )
11232, 111ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_ 
{ c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
113110, 112eqssi 3324 . . . . . . . . 9  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  =  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
114113fveq2i 5690 . . . . . . . 8  |-  ( # `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )
115114oveq1i 6050 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
11697, 98, 1153eqtr3i 2432 . . . . . 6  |-  ( N  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
117116oveq2i 6051 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( N  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( 2  x.  (
( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) ) )
118 2cn 10026 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
119 hashcl 11594 . . . . . . . 8  |-  ( { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }  e.  Fin  ->  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  e. 
NN0 )
12083, 119ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )  e. 
NN0
121120nn0cni 10189 . . . . . 6  |-  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )  e.  CC
122118, 121, 28, 57divassi 9726 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( 2  x.  ( (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  / 
( # `  O ) ) )
1231212timesi 10057 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  =  ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )
124123oveq1i 6050 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  (
# `  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } ) )  /  ( # `  O
) )
125117, 122, 1243eqtr2i 2430 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( N  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( ( ( # `  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } )  +  ( # `  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } ) )  / 
( # `  O ) )
12671, 88, 1253eqtr4ri 2435 . . 3  |-  ( 2  x.  ( N  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( ( # `  ( O  \  E ) )  /  ( # `  O
) )
127126oveq2i 6051 . 2  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( N  /  ( M  +  N )
) ) )  =  ( 1  -  (
( # `  ( O 
\  E ) )  /  ( # `  O
) ) )
12847nncni 9966 . . . 4  |-  ( M  +  N )  e.  CC
12943nncni 9966 . . . . 5  |-  N  e.  CC
130118, 129mulcli 9051 . . . 4  |-  ( 2  x.  N )  e.  CC
13147nnne0i 9990 . . . . 5  |-  ( M  +  N )  =/=  0
132128, 131pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  e.  CC  /\  ( M  +  N )  =/=  0 )
133 divsubdir 9666 . . . 4  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  ( ( M  +  N )  e.  CC  /\  ( M  +  N
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( M  +  N
)  -  ( 2  x.  N ) )  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( M  +  N )  / 
( M  +  N
) )  -  (
( 2  x.  N
)  /  ( M  +  N ) ) ) )
134128, 130, 132, 133mp3an 1279 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  ( 2  x.  N ) )  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( ( M  +  N )  / 
( M  +  N
) )  -  (
( 2  x.  N
)  /  ( M  +  N ) ) )
1351292timesi 10057 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  N )  =  ( N  +  N
)
136135oveq2i 6051 . . . . 5  |-  ( ( M  +  N )  -  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( M  +  N )  -  ( N  +  N )
)
13742nncni 9966 . . . . . . 7  |-  M  e.  CC
138137, 129, 129, 129addsub4i 9352 . . . . . 6  |-  ( ( M  +  N )  -  ( N  +  N ) )  =  ( ( M  -  N )  +  ( N  -  N ) )
139129subidi 9327 . . . . . . 7  |-  ( N  -  N )  =  0
140139oveq2i 6051 . . . . . 6  |-  ( ( M  -  N )  +  ( N  -  N ) )  =  ( ( M  -  N )  +  0 )
141137, 129subcli 9332 . . . . . . 7  |-  ( M  -  N )  e.  CC
142141addid1i 9209 . . . . . 6  |-  ( ( M  -  N )  +  0 )  =  ( M  -  N
)
143138, 140, 1423eqtri 2428 . . . . 5  |-  ( ( M  +  N )  -  ( N  +  N ) )  =  ( M  -  N
)
144136, 143eqtri 2424 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  -  ( 2  x.  N ) )  =  ( M  -  N
)
145144oveq1i 6050 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  ( 2  x.  N ) )  /  ( M  +  N ) )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
146128, 131dividi 9703 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  /  ( M  +  N ) )  =  1
147118, 129, 128, 131divassi 9726 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  N )  /  ( M  +  N ) )  =  ( 2  x.  ( N  /  ( M  +  N ) ) )
148146, 147oveq12i 6052 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  /  ( M  +  N ) )  -  ( ( 2  x.  N )  / 
( M  +  N
) ) )  =  ( 1  -  (
2  x.  ( N  /  ( M  +  N ) ) ) )
149134, 145, 1483eqtr3ri 2433 . 2  |-  ( 1  -  ( 2  x.  ( N  /  ( M  +  N )
) ) )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
15063, 127, 1493eqtr2i 2430 1  |-  ( P `
 E )  =  ( ( M  -  N )  /  ( M  +  N )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999    _C cbc 11548   #chash 11573
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574
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