Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5amN Unicode version

Theorem baerlem5amN 30595
 Description: An equality that holds when , , are independent (non-colinear) vectors. Subtraction version of first equation of part (5) in [Baer] p. 46. TODO: This is the subtraction version, may not be needed. TODO: delete if baerlem5abmN 30597 is used. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v
baerlem3.m
baerlem3.o
baerlem3.s
baerlem3.n
baerlem3.w
baerlem3.x
baerlem3.c
baerlem3.d
baerlem3.y
baerlem3.z
baerlem5a.p
Assertion
Ref Expression
baerlem5amN

Proof of Theorem baerlem5amN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . 7
2 eldifi 3215 . . . . . . 7
31, 2syl 17 . . . . . 6
4 baerlem3.z . . . . . . 7
5 eldifi 3215 . . . . . . 7
64, 5syl 17 . . . . . 6
7 baerlem3.v . . . . . . 7
8 baerlem5a.p . . . . . . 7
9 eqid 2253 . . . . . . 7
10 baerlem3.m . . . . . . 7
117, 8, 9, 10grpsubval 14360 . . . . . 6
123, 6, 11syl2anc 645 . . . . 5
1312oveq2d 5726 . . . 4
1413sneqd 3557 . . 3
1514fveq2d 5381 . 2
16 baerlem3.o . . 3
17 baerlem3.s . . 3
18 baerlem3.n . . 3
19 baerlem3.w . . 3
20 baerlem3.x . . 3
21 lveclmod 15694 . . . . . 6
2219, 21syl 17 . . . . 5
237, 9lmodvnegcl 15500 . . . . 5
2422, 6, 23syl2anc 645 . . . 4
25 eqid 2253 . . . . . 6
267, 25, 18, 22, 3, 6lspprcl 15570 . . . . . 6
27 baerlem3.c . . . . . 6
287, 16, 25, 22, 26, 20, 27lssneln0 15544 . . . . 5
297, 18, 19, 20, 3, 6, 27lspindpi 15720 . . . . . 6
3029simpld 447 . . . . 5
317, 16, 18, 19, 28, 3, 30lspsnne1 15705 . . . 4
32 baerlem3.d . . . . . . . 8
3332necomd 2495 . . . . . . 7
347, 16, 18, 19, 4, 3, 33lspsnne1 15705 . . . . . 6
357, 18, 19, 20, 6, 3, 34, 27lspexchn2 15719 . . . . 5
36 lmodgrp 15469 . . . . . . . . 9
3719, 21, 363syl 20 . . . . . . . 8
3837adantr 453 . . . . . . 7
396adantr 453 . . . . . . 7
407, 9grpinvinv 14370 . . . . . . 7
4138, 39, 40syl2anc 645 . . . . . 6
4222adantr 453 . . . . . . 7
437, 25, 18, 22, 3, 20lspprcl 15570 . . . . . . . 8
4443adantr 453 . . . . . . 7
45 simpr 449 . . . . . . 7
4625, 9lssvnegcl 15548 . . . . . . 7
4742, 44, 45, 46syl3anc 1187 . . . . . 6
4841, 47eqeltrrd 2328 . . . . 5
4935, 48mtand 643 . . . 4
507, 18, 19, 24, 20, 3, 31, 49lspexchn2 15719 . . 3
517, 9, 18lspsnneg 15598 . . . . 5
5222, 6, 51syl2anc 645 . . . 4
5332, 52neeqtrrd 2436 . . 3
547, 16, 9grpinvnzcl 14375 . . . 4
5537, 4, 54syl2anc 645 . . 3
567, 10, 16, 17, 18, 19, 20, 50, 53, 1, 55, 8baerlem5a 30593 . 2
5752oveq2d 5726 . . 3
587, 8, 10, 9, 37, 20, 6grpsubinv 14376 . . . . . 6
5958sneqd 3557 . . . . 5
6059fveq2d 5381 . . . 4
6160oveq1d 5725 . . 3
6257, 61ineq12d 3279 . 2
6315, 56, 623eqtrd 2289 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412   cdif 3075   cin 3077  csn 3544  cpr 3545  cfv 4592  (class class class)co 5710  cbs 13022   cplusg 13082  c0g 13274  cgrp 14197  cminusg 14198  csg 14200  clsm 14780  clmod 15462  clss 15524  clspn 15563  clvec 15690 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691
 Copyright terms: Public domain W3C validator