MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrrecex Unicode version

Theorem axrrecex 8718
Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 16 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rrecex 8742. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axrrecex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem axrrecex
StepHypRef Expression
1 elreal 8686 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A )
2 df-rex 2521 . . . 4  |-  ( E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A  <->  E. y ( y  e. 
R.  /\  <. y ,  0R >.  =  A
) )
31, 2bitri 242 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y
( y  e.  R.  /\ 
<. y ,  0R >.  =  A ) )
4 neeq1 2427 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
5 oveq1 5764 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( A  x.  x ) )
65eqeq1d 2264 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( A  x.  x
)  =  1 ) )
76rexbidv 2535 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
84, 7imbi12d 313 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. y ,  0R >.  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 )  <-> 
( A  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 ) ) )
9 df-0 8677 . . . . . . 7  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
109eqeq2i 2266 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  0  <->  <. y ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
11 vex 2743 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1211eqresr 8692 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  = 
<. 0R ,  0R >.  <->  y  =  0R )
1310, 12bitri 242 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  0  <->  y  =  0R )
1413necon3bii 2451 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =/=  0  <->  y  =/=  0R )
15 recexsr 8662 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  y  =/=  0R )  ->  E. z  e.  R.  ( y  .R  z
)  =  1R )
1615ex 425 . . . . 5  |-  ( y  e.  R.  ->  (
y  =/=  0R  ->  E. z  e.  R.  (
y  .R  z )  =  1R ) )
17 opelreal 8685 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
1817anbi1i 679 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 ) )
19 mulresr 8694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  <. (
y  .R  z ) ,  0R >. )
2019eqeq1d 2264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <->  <. ( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1 ) )
21 df-1 8678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
2221eqeq2i 2266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  <. ( y  .R  z ) ,  0R >.  =  <. 1R ,  0R >. )
23 ovex 5782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  .R  z )  e. 
_V
2423eqresr 8692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  = 
<. 1R ,  0R >.  <->  (
y  .R  z )  =  1R )
2522, 24bitri 242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  ( y  .R  z )  =  1R )
2620, 25syl6bb 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <-> 
( y  .R  z
)  =  1R )
)
2726pm5.32da 625 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 )  <-> 
( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
) )
2818, 27syl5bb 250 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <. y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z )  =  1R ) ) )
29 oveq2 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. ) )
3029eqeq1d 2264 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( ( <.
y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )
3130rcla4ev 2835 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )
3228, 31syl6bir 222 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3332exp3a 427 . . . . . 6  |-  ( y  e.  R.  ->  (
z  e.  R.  ->  ( ( y  .R  z
)  =  1R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) )
3433rexlimdv 2637 . . . . 5  |-  ( y  e.  R.  ->  ( E. z  e.  R.  ( y  .R  z
)  =  1R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3516, 34syld 42 . . . 4  |-  ( y  e.  R.  ->  (
y  =/=  0R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3614, 35syl5bi 210 . . 3  |-  ( y  e.  R.  ->  ( <. y ,  0R >.  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) )
373, 8, 36gencl 2767 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x )  =  1 ) )
3837imp 420 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   E.wrex 2517   <.cop 3584  (class class class)co 5757   R.cnr 8422   0Rc0r 8423   1Rc1r 8424    .R cmr 8427   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    x. cmul 8675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-ni 8429  df-pli 8430  df-mi 8431  df-lti 8432  df-plpq 8465  df-mpq 8466  df-ltpq 8467  df-enq 8468  df-nq 8469  df-erq 8470  df-plq 8471  df-mq 8472  df-1nq 8473  df-rq 8474  df-ltnq 8475  df-np 8538  df-1p 8539  df-plp 8540  df-mp 8541  df-ltp 8542  df-plpr 8612  df-mpr 8613  df-enr 8614  df-nr 8615  df-plr 8616  df-mr 8617  df-ltr 8618  df-0r 8619  df-1r 8620  df-m1r 8621  df-c 8676  df-0 8677  df-1 8678  df-r 8680  df-mul 8682
  Copyright terms: Public domain W3C validator