MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrrecex Unicode version

Theorem axrrecex 8801
Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 16 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rrecex 8825. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axrrecex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem axrrecex
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 8769 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A )
2 df-rex 2562 . . . 4  |-  ( E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A  <->  E. y ( y  e. 
R.  /\  <. y ,  0R >.  =  A
) )
31, 2bitri 240 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y
( y  e.  R.  /\ 
<. y ,  0R >.  =  A ) )
4 neeq1 2467 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
5 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( A  x.  x ) )
65eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( A  x.  x
)  =  1 ) )
76rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
84, 7imbi12d 311 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. y ,  0R >.  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 )  <-> 
( A  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 ) ) )
9 df-0 8760 . . . . . . 7  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
109eqeq2i 2306 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  0  <->  <. y ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
11 vex 2804 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1211eqresr 8775 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  = 
<. 0R ,  0R >.  <->  y  =  0R )
1310, 12bitri 240 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  0  <->  y  =  0R )
1413necon3bii 2491 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =/=  0  <->  y  =/=  0R )
15 recexsr 8745 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  y  =/=  0R )  ->  E. z  e.  R.  ( y  .R  z
)  =  1R )
1615ex 423 . . . . 5  |-  ( y  e.  R.  ->  (
y  =/=  0R  ->  E. z  e.  R.  (
y  .R  z )  =  1R ) )
17 opelreal 8768 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
1817anbi1i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 ) )
19 mulresr 8777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  <. (
y  .R  z ) ,  0R >. )
2019eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <->  <. ( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1 ) )
21 df-1 8761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
2221eqeq2i 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  <. ( y  .R  z ) ,  0R >.  =  <. 1R ,  0R >. )
23 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  .R  z )  e. 
_V
2423eqresr 8775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  = 
<. 1R ,  0R >.  <->  (
y  .R  z )  =  1R )
2522, 24bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  ( y  .R  z )  =  1R )
2620, 25syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <-> 
( y  .R  z
)  =  1R )
)
2726pm5.32da 622 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 )  <-> 
( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
) )
2818, 27syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <. y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z )  =  1R ) ) )
29 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. ) )
3029eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( ( <.
y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )
3130rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )
3228, 31syl6bir 220 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3332exp3a 425 . . . . . 6  |-  ( y  e.  R.  ->  (
z  e.  R.  ->  ( ( y  .R  z
)  =  1R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) )
3433rexlimdv 2679 . . . . 5  |-  ( y  e.  R.  ->  ( E. z  e.  R.  ( y  .R  z
)  =  1R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3516, 34syld 40 . . . 4  |-  ( y  e.  R.  ->  (
y  =/=  0R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3614, 35syl5bi 208 . . 3  |-  ( y  e.  R.  ->  ( <. y ,  0R >.  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) )
373, 8, 36gencl 2829 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x )  =  1 ) )
3837imp 418 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   <.cop 3656  (class class class)co 5874   R.cnr 8505   0Rc0r 8506   1Rc1r 8507    .R cmr 8510   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-ni 8512  df-pli 8513  df-mi 8514  df-lti 8515  df-plpq 8548  df-mpq 8549  df-ltpq 8550  df-enq 8551  df-nq 8552  df-erq 8553  df-plq 8554  df-mq 8555  df-1nq 8556  df-rq 8557  df-ltnq 8558  df-np 8621  df-1p 8622  df-plp 8623  df-mp 8624  df-ltp 8625  df-plpr 8695  df-mpr 8696  df-enr 8697  df-nr 8698  df-plr 8699  df-mr 8700  df-ltr 8701  df-0r 8702  df-1r 8703  df-m1r 8704  df-c 8759  df-0 8760  df-1 8761  df-r 8763  df-mul 8765
  Copyright terms: Public domain W3C validator