Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc3 Unicode version

Theorem axdc3 7964
 Description: Dependent Choice. Axiom DC1 of [Schechter] p. 149, with the addition of an initial value . This theorem is weaker than the Axiom of Choice but is stronger than Countable Choice. It shows the existence of a sequence whose values can only be shown to exist (but cannot be constructed explicitly) and also depend on earlier values in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axdc3.1
Assertion
Ref Expression
axdc3
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem axdc3
StepHypRef Expression
1 axdc3.1 . 2
2 feq1 5232 . . . . 5
3 fveq1 5376 . . . . . 6
43eqeq1d 2261 . . . . 5
5 fveq1 5376 . . . . . . . 8
6 fveq1 5376 . . . . . . . . 9
76fveq2d 5381 . . . . . . . 8
85, 7eleq12d 2321 . . . . . . 7
98ralbidv 2527 . . . . . 6
10 suceq 4350 . . . . . . . . 9
1110fveq2d 5381 . . . . . . . 8
12 fveq2 5377 . . . . . . . . 9
1312fveq2d 5381 . . . . . . . 8
1411, 13eleq12d 2321 . . . . . . 7
1514cbvralv 2708 . . . . . 6
169, 15syl6bb 254 . . . . 5
172, 4, 163anbi123d 1257 . . . 4
1817rexbidv 2528 . . 3
1918cbvabv 2368 . 2
20 eqid 2253 . 2
211, 19, 20axdc3lem4 7963 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   w3a 939  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621  cab 2239  wral 2509  wrex 2510  crab 2512  cvv 2727   cdif 3075  c0 3362  cpw 3530  csn 3544   cmpt 3974   csuc 4287  com 4547   cdm 4580   cres 4582  wf 4588  cfv 4592 This theorem is referenced by:  axdc4lem  7965 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-dc 7956 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-1o 6365
 Copyright terms: Public domain W3C validator