Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddf Unicode version

 Description: Addition is an operation on the complex numbers. This theorem can be used as an alternate axiom for complex numbers in place of the less specific axaddcl 8653. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-addf 8696. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 moeq 2878 . . . . . . . . 9
21mosubop 4158 . . . . . . . 8
32mosubop 4158 . . . . . . 7
4 anass 633 . . . . . . . . . . 11
542exbii 1581 . . . . . . . . . 10
6 19.42vv 2040 . . . . . . . . . 10
75, 6bitri 242 . . . . . . . . 9
872exbii 1581 . . . . . . . 8
98mobii 2149 . . . . . . 7
103, 9mpbir 202 . . . . . 6
1110moani 2165 . . . . 5
1211funoprab 5796 . . . 4
13 df-plus 8628 . . . . 5
1413funeqi 5133 . . . 4
1512, 14mpbir 202 . . 3
1613dmeqi 4787 . . . . 5
17 dmoprabss 5781 . . . . 5
1816, 17eqsstri 3129 . . . 4
19 0ncn 8635 . . . . 5
20 df-c 8623 . . . . . . 7
21 oveq1 5717 . . . . . . . 8
2221eleq1d 2319 . . . . . . 7
23 oveq2 5718 . . . . . . . 8
2423eleq1d 2319 . . . . . . 7
25 addcnsr 8637 . . . . . . . 8
26 addclsr 8585 . . . . . . . . . . 11
27 addclsr 8585 . . . . . . . . . . 11
2826, 27anim12i 551 . . . . . . . . . 10
2928an4s 802 . . . . . . . . 9
30 opelxpi 4628 . . . . . . . . 9
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8
3225, 31eqeltrd 2327 . . . . . . 7
3320, 22, 24, 322optocl 4672 . . . . . 6
3433, 20syl6eleqr 2344 . . . . 5
3519, 34oprssdm 5854 . . . 4
3618, 35eqssi 3116 . . 3
37 df-fn 4603 . . 3
3815, 36, 37mpbir2an 891 . 2
3934rgen2a 2571 . 2
40 ffnov 5800 . 2
4138, 39, 40mpbir2an 891 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 360  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621  wmo 2115  wral 2509  cop 3547   cxp 4578   cdm 4580   wfun 4586   wfn 4587  wf 4588  (class class class)co 5710  copab2 5711  cnr 8369   cplr 8373  cc 8615   caddc 8620 This theorem is referenced by:  axaddcl  8653 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421  df-ltnq 8422  df-np 8485  df-plp 8487  df-ltp 8489  df-plpr 8559  df-enr 8561  df-nr 8562  df-plr 8563  df-c 8623  df-plus 8628
 Copyright terms: Public domain W3C validator