MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1ne0 Unicode version

Theorem ax1ne0 8777
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 8801. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1ne0  |-  1  =/=  0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 8713 . . . 4  |-  -.  1R  =  0R
2 1sr 8698 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
32elexi 2798 . . . . 5  |-  1R  e.  _V
43eqresr 8754 . . . 4  |-  ( <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.  <->  1R  =  0R )
51, 4mtbir 292 . . 3  |-  -.  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
6 df-1 8740 . . . 4  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
7 df-0 8739 . . . 4  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
86, 7eqeq12i 2297 . . 3  |-  ( 1  =  0  <->  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
95, 8mtbir 292 . 2  |-  -.  1  =  0
10 df-ne 2449 . 2  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
119, 10mpbir 202 1  |-  1  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    = wceq 1624    =/= wne 2447   <.cop 3644   R.cnr 8484   0Rc0r 8485   1Rc1r 8486   0cc0 8732   1c1 8733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-ec 6657  df-qs 6661  df-ni 8491  df-pli 8492  df-mi 8493  df-lti 8494  df-plpq 8527  df-mpq 8528  df-ltpq 8529  df-enq 8530  df-nq 8531  df-erq 8532  df-plq 8533  df-mq 8534  df-1nq 8535  df-rq 8536  df-ltnq 8537  df-np 8600  df-1p 8601  df-plp 8602  df-ltp 8604  df-enr 8676  df-nr 8677  df-ltr 8680  df-0r 8681  df-1r 8682  df-0 8739  df-1 8740
  Copyright terms: Public domain W3C validator