MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1ne0 Unicode version

Theorem ax1ne0 8782
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 8806. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1ne0  |-  1  =/=  0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 8718 . . . 4  |-  -.  1R  =  0R
2 1sr 8703 . . . . . 6  |-  1R  e.  R.
32elexi 2797 . . . . 5  |-  1R  e.  _V
43eqresr 8759 . . . 4  |-  ( <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.  <->  1R  =  0R )
51, 4mtbir 290 . . 3  |-  -.  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >.
6 df-1 8745 . . . 4  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
7 df-0 8744 . . . 4  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
86, 7eqeq12i 2296 . . 3  |-  ( 1  =  0  <->  <. 1R ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
95, 8mtbir 290 . 2  |-  -.  1  =  0
10 df-ne 2448 . 2  |-  ( 1  =/=  0  <->  -.  1  =  0 )
119, 10mpbir 200 1  |-  1  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    =/= wne 2446   <.cop 3643   R.cnr 8489   0Rc0r 8490   1Rc1r 8491   0cc0 8737   1c1 8738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-ni 8496  df-pli 8497  df-mi 8498  df-lti 8499  df-plpq 8532  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-plq 8538  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542  df-np 8605  df-1p 8606  df-plp 8607  df-ltp 8609  df-enr 8681  df-nr 8682  df-ltr 8685  df-0r 8686  df-1r 8687  df-0 8744  df-1 8745
  Copyright terms: Public domain W3C validator