MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arch Unicode version

Theorem arch 9915
Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
arch  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem arch
StepHypRef Expression
1 breq1 3986 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  <  n  <->  A  <  n ) )
21rexbidv 2537 . 2  |-  ( y  =  A  ->  ( E. n  e.  NN  y  <  n  <->  E. n  e.  NN  A  <  n
) )
3 nnunb 9914 . . . 4  |-  -.  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( n  < 
y  \/  n  =  y )
4 ralnex 2526 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )  <->  -. 
E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )
)
53, 4mpbir 202 . . 3  |-  A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  ( n  < 
y  \/  n  =  y )
6 rexnal 2527 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( n  <  y  \/  n  =  y ) )
7 nnre 9707 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
8 axlttri 8848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
) ) )
97, 8sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
) ) )
10 eqcom 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  n  <->  n  =  y )
1110orbi1i 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  n  \/  n  <  y )  <-> 
( n  =  y  \/  n  <  y
) )
12 orcom 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  =  y  \/  n  <  y )  <-> 
( n  <  y  \/  n  =  y
) )
1311, 12bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  n  \/  n  <  y )  <-> 
( n  <  y  \/  n  =  y
) )
1413notbii 289 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
)  <->  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y ) )
159, 14syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y
) ) )
1615biimprd 216 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  ( n  <  y  \/  n  =  y )  -> 
y  <  n )
)
1716reximdva 2628 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  ( E. n  e.  NN  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y
)  ->  E. n  e.  NN  y  <  n
) )
186, 17syl5bir 211 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  ( -.  A. n  e.  NN  ( n  <  y  \/  n  =  y )  ->  E. n  e.  NN  y  <  n ) )
1918ralimia 2589 . . 3  |-  ( A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )  ->  A. y  e.  RR  E. n  e.  NN  y  <  n )
205, 19ax-mp 10 . 2  |-  A. y  e.  RR  E. n  e.  NN  y  <  n
212, 20vtoclri 2826 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   class class class wbr 3983   RRcr 8690    < clt 8821   NNcn 9700
This theorem is referenced by:  nnrecl  9916  bndndx  9917  btwnz  10067  uzwo3  10264  zmin  10265  rpnnen1lem5  10299  harmonic  12265  alzdvds  12526  ovolicc2lem4  18827  volsup2  18908  ismbf3d  18957  mbfi1fseqlem6  19023  itg2seq  19045  itg2cnlem1  19064  ply1divex  19470  plydivex  19625  ubthlem1  21395  lnconi  22559  hbtlem5  26685  rfcnnnub  27061  stoweidlem14  27084  stoweidlem60  27130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701
  Copyright terms: Public domain W3C validator