MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  arch Unicode version

Theorem arch 9894
Description: Archimedean property of real numbers. For any real number, there is an integer greater than it. Theorem I.29 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
arch  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem arch
StepHypRef Expression
1 breq1 3966 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  <  n  <->  A  <  n ) )
21rexbidv 2535 . 2  |-  ( y  =  A  ->  ( E. n  e.  NN  y  <  n  <->  E. n  e.  NN  A  <  n
) )
3 nnunb 9893 . . . 4  |-  -.  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( n  < 
y  \/  n  =  y )
4 ralnex 2524 . . . 4  |-  ( A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )  <->  -. 
E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )
)
53, 4mpbir 202 . . 3  |-  A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  ( n  < 
y  \/  n  =  y )
6 rexnal 2525 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y )  <->  -.  A. n  e.  NN  ( n  <  y  \/  n  =  y ) )
7 nnre 9686 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR )
8 axlttri 8827 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
) ) )
97, 8sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
) ) )
10 eqcom 2258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  n  <->  n  =  y )
1110orbi1i 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  n  \/  n  <  y )  <-> 
( n  =  y  \/  n  <  y
) )
12 orcom 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  =  y  \/  n  <  y )  <-> 
( n  <  y  \/  n  =  y
) )
1311, 12bitri 242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  n  \/  n  <  y )  <-> 
( n  <  y  \/  n  =  y
) )
1413notbii 289 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( y  =  n  \/  n  <  y
)  <->  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y ) )
159, 14syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( y  <  n  <->  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y
) ) )
1615biimprd 216 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( -.  ( n  <  y  \/  n  =  y )  -> 
y  <  n )
)
1716reximdva 2626 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  ( E. n  e.  NN  -.  ( n  <  y  \/  n  =  y
)  ->  E. n  e.  NN  y  <  n
) )
186, 17syl5bir 211 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  ( -.  A. n  e.  NN  ( n  <  y  \/  n  =  y )  ->  E. n  e.  NN  y  <  n ) )
1918ralimia 2587 . . 3  |-  ( A. y  e.  RR  -.  A. n  e.  NN  (
n  <  y  \/  n  =  y )  ->  A. y  e.  RR  E. n  e.  NN  y  <  n )
205, 19ax-mp 10 . 2  |-  A. y  e.  RR  E. n  e.  NN  y  <  n
212, 20vtoclri 2809 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  A  <  n
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   class class class wbr 3963   RRcr 8669    < clt 8800   NNcn 9679
This theorem is referenced by:  nnrecl  9895  bndndx  9896  btwnz  10046  uzwo3  10243  zmin  10244  rpnnen1lem5  10278  harmonic  12244  alzdvds  12505  ovolicc2lem4  18806  volsup2  18887  ismbf3d  18936  mbfi1fseqlem6  19002  itg2seq  19024  itg2cnlem1  19043  ply1divex  19449  plydivex  19604  ubthlem1  21374  lnconi  22538  hbtlem5  26664  rfcnnnub  27040  stoweidlem14  27063  stoweidlem60  27109
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680
  Copyright terms: Public domain W3C validator