Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephnbtwn Unicode version

Theorem alephnbtwn 7582
 Description: No cardinal can be sandwiched between an aleph and its successor aleph. Theorem 67 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 10-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
alephnbtwn

Proof of Theorem alephnbtwn
StepHypRef Expression
1 alephon 7580 . . . . . . . 8
2 id 21 . . . . . . . . . 10
3 cardon 7461 . . . . . . . . . 10
42, 3syl6eqelr 2342 . . . . . . . . 9
5 onenon 7466 . . . . . . . . 9
64, 5syl 17 . . . . . . . 8
7 cardsdomel 7491 . . . . . . . 8
81, 6, 7sylancr 647 . . . . . . 7
9 eleq2 2314 . . . . . . 7
108, 9bitrd 246 . . . . . 6
1110adantl 454 . . . . 5
12 alephsuc 7579 . . . . . . . . . . 11 har
13 onenon 7466 . . . . . . . . . . . 12
14 harval2 7514 . . . . . . . . . . . 12 har
151, 13, 14mp2b 11 . . . . . . . . . . 11 har
1612, 15syl6eq 2301 . . . . . . . . . 10
1716eleq2d 2320 . . . . . . . . 9
1817biimpd 200 . . . . . . . 8
19 breq2 3924 . . . . . . . . 9
2019onnminsb 4486 . . . . . . . 8
2118, 20sylan9 641 . . . . . . 7
2221con2d 109 . . . . . 6
234, 22sylan2 462 . . . . 5
2411, 23sylbird 228 . . . 4
25 imnan 413 . . . 4
2624, 25sylib 190 . . 3
2726ex 425 . 2
28 n0i 3367 . . . . . . 7
29 alephfnon 7576 . . . . . . . . . 10
30 fndm 5200 . . . . . . . . . 10
3129, 30ax-mp 10 . . . . . . . . 9
3231eleq2i 2317 . . . . . . . 8
33 ndmfv 5405 . . . . . . . 8
3432, 33sylnbir 300 . . . . . . 7
3528, 34nsyl2 121 . . . . . 6
36 sucelon 4499 . . . . . 6
3735, 36sylibr 205 . . . . 5
3837adantl 454 . . . 4
3938con3i 129 . . 3
4039a1d 24 . 2
4127, 40pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  crab 2512  c0 3362  cint 3760   class class class wbr 3920  con0 4285   csuc 4287   cdm 4580   wfn 4587  cfv 4592   csdm 6748  harchar 7154  ccrd 7452  cale 7453 This theorem is referenced by:  alephnbtwn2  7583 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-oi 7109  df-har 7156  df-card 7456  df-aleph 7457
 Copyright terms: Public domain W3C validator