Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephfp Unicode version

Theorem alephfp 7619
 Description: The aleph function has a fixed point. Similar to Proposition 11.18 of [TakeutiZaring] p. 104, except that we construct an actual example of a fixed point rather than just showing its existence. See alephfp2 7620 for an abbreviated version just showing existence. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
alephfplem.1
Assertion
Ref Expression
alephfp

Proof of Theorem alephfp
StepHypRef Expression
1 alephfplem.1 . . 3
21alephfplem4 7618 . 2
3 isinfcard 7603 . . 3
4 cardalephex 7601 . . . 4
54biimpa 472 . . 3
63, 5sylbir 206 . 2
7 alephle 7599 . . . . . . . . 9
8 alephon 7580 . . . . . . . . . . 11
98onirri 4390 . . . . . . . . . 10
10 frfnom 6333 . . . . . . . . . . . . . 14
111fneq1i 5195 . . . . . . . . . . . . . 14
1210, 11mpbir 202 . . . . . . . . . . . . 13
13 fnfun 5198 . . . . . . . . . . . . 13
14 eluniima 5628 . . . . . . . . . . . . 13
1512, 13, 14mp2b 11 . . . . . . . . . . . 12
16 alephsson 7611 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171alephfplem3 7617 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1816, 17sseldi 3101 . . . . . . . . . . . . . . 15
19 alephord2i 7588 . . . . . . . . . . . . . . 15
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
211alephfplem2 7616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
22 peano2 4567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23 fnfvelrn 5514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2412, 23mpan 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
25 fnima 5219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2612, 25ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2724, 26syl6eleqr 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2921, 28eqeltrrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 elssuni 3753 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231sseld 3102 . . . . . . . . . . . . . 14
3320, 32syld 42 . . . . . . . . . . . . 13
3433rexlimiv 2623 . . . . . . . . . . . 12
3515, 34sylbi 189 . . . . . . . . . . 11
36 eleq2 2314 . . . . . . . . . . . 12
37 eleq2 2314 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37imbi12d 313 . . . . . . . . . . 11
3935, 38mpbii 204 . . . . . . . . . 10
409, 39mtoi 171 . . . . . . . . 9
417, 40anim12i 551 . . . . . . . 8
42 eloni 4295 . . . . . . . . . 10
438onordi 4388 . . . . . . . . . 10
44 ordtri4 4322 . . . . . . . . . 10
4542, 43, 44sylancl 646 . . . . . . . . 9
4645adantr 453 . . . . . . . 8
4741, 46mpbird 225 . . . . . . 7
48 eqeq2 2262 . . . . . . . 8
4948adantl 454 . . . . . . 7
5047, 49mpbird 225 . . . . . 6
5150eqcomd 2258 . . . . 5
5251fveq2d 5381 . . . 4
53 eqeq2 2262 . . . . 5
5453adantl 454 . . . 4
5552, 54mpbird 225 . . 3
5655rexlimiva 2624 . 2
572, 6, 56mp2b 11 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wrex 2510   wss 3078  cuni 3727   word 4284  con0 4285   csuc 4287  com 4547   crn 4581   cres 4582  cima 4583   wfun 4586   wfn 4587  cfv 4592  crdg 6308  ccrd 7452  cale 7453 This theorem is referenced by:  alephfp2  7620 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-oi 7109  df-har 7156  df-card 7456  df-aleph 7457
 Copyright terms: Public domain W3C validator