Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephcard Unicode version

Theorem alephcard 7581
 Description: Every aleph is a cardinal number. Theorem 65 of [Suppes] p. 229. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
alephcard

Proof of Theorem alephcard
StepHypRef Expression
1 fveq2 5377 . . . . 5
21fveq2d 5381 . . . 4
32, 1eqeq12d 2267 . . 3
4 fveq2 5377 . . . . 5
54fveq2d 5381 . . . 4
65, 4eqeq12d 2267 . . 3
7 fveq2 5377 . . . . 5
87fveq2d 5381 . . . 4
98, 7eqeq12d 2267 . . 3
10 fveq2 5377 . . . . 5
1110fveq2d 5381 . . . 4
1211, 10eqeq12d 2267 . . 3
13 cardom 7503 . . . 4
14 aleph0 7577 . . . . 5
1514fveq2i 5380 . . . 4
1613, 15, 143eqtr4i 2283 . . 3
17 harcard 7495 . . . . 5 har har
18 alephsuc 7579 . . . . . 6 har
1918fveq2d 5381 . . . . 5 har
2017, 19, 183eqtr4a 2311 . . . 4
2120a1d 24 . . 3
22 vex 2730 . . . . . . 7
23 cardiun 7499 . . . . . . 7
2422, 23ax-mp 10 . . . . . 6
2524adantl 454 . . . . 5
26 alephlim 7578 . . . . . . . 8
2722, 26mpan 654 . . . . . . 7
2827adantr 453 . . . . . 6
2928fveq2d 5381 . . . . 5
3025, 29, 283eqtr4d 2295 . . . 4
3130ex 425 . . 3
323, 6, 9, 12, 16, 21, 31tfinds 4541 . 2
33 card0 7475 . . 3
34 alephfnon 7576 . . . . . . 7
35 fndm 5200 . . . . . . 7
3634, 35ax-mp 10 . . . . . 6
3736eleq2i 2317 . . . . 5
38 ndmfv 5405 . . . . 5
3937, 38sylnbir 300 . . . 4
4039fveq2d 5381 . . 3
4133, 40, 393eqtr4a 2311 . 2
4232, 41pm2.61i 158 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621  wral 2509  cvv 2727  c0 3362  ciun 3803  con0 4285   wlim 4286   csuc 4287  com 4547   cdm 4580   wfn 4587  cfv 4592  harchar 7154  ccrd 7452  cale 7453 This theorem is referenced by:  alephnbtwn2  7583  alephord2  7587  alephsuc2  7591  alephislim  7594  alephsdom  7597  cardaleph  7600  cardalephex  7601  alephval3  7621  alephval2  8074  alephsuc3  8082  alephreg  8084  pwcfsdom  8085 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-oi 7109  df-har 7156  df-card 7456  df-aleph 7457
 Copyright terms: Public domain W3C validator