Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclprlem2 Unicode version

 Description: Lemma to prove downward closure in positive real addition. Part of proof of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

StepHypRef Expression
1 addclprlem1 8520 . . . . 5
21adantlr 698 . . . 4
3 addclprlem1 8520 . . . . . 6
4 addcomnq 8455 . . . . . . 7
54breq2i 3928 . . . . . 6
64fveq2i 5380 . . . . . . . . 9
76oveq2i 5721 . . . . . . . 8
87oveq1i 5720 . . . . . . 7
98eleq1i 2316 . . . . . 6
103, 5, 93imtr4g 263 . . . . 5
1110adantll 697 . . . 4
122, 11jcad 521 . . 3
13 simpl 445 . . . 4
14 simpl 445 . . . . 5
15 simpl 445 . . . . 5
1614, 15anim12i 551 . . . 4
17 df-plp 8487 . . . . 5
18 addclnq 8449 . . . . 5
1917, 18genpprecl 8505 . . . 4
2013, 16, 193syl 20 . . 3
2112, 20syld 42 . 2
22 distrnq 8465 . . . . 5
23 mulassnq 8463 . . . . 5
2422, 23eqtr3i 2275 . . . 4
25 mulcomnq 8457 . . . . . . 7
26 elprnq 8495 . . . . . . . . 9
27 elprnq 8495 . . . . . . . . 9
2826, 27anim12i 551 . . . . . . . 8
29 addclnq 8449 . . . . . . . 8
30 recidnq 8469 . . . . . . . 8
3128, 29, 303syl 20 . . . . . . 7
3225, 31syl5eq 2297 . . . . . 6
3332oveq2d 5726 . . . . 5
34 mulidnq 8467 . . . . 5
3533, 34sylan9eq 2305 . . . 4
3624, 35syl5eq 2297 . . 3
3736eleq1d 2319 . 2
3821, 37sylibd 207 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  cnq 8354  c1q 8355   cplq 8357   cmq 8358  crq 8359   cltq 8360  cnp 8361   cpp 8363 This theorem is referenced by:  addclpr  8522 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421  df-ltnq 8422  df-np 8485  df-plp 8487
 Copyright terms: Public domain W3C validator