MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ac9 Unicode version

Theorem ac9 7994
Description: An Axiom of Choice equivalent: the infinite Cartesian product of nonempty classes is nonempty. Axiom of Choice (second form) of [Enderton] p. 55 and its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6c4.1  |-  A  e. 
_V
ac6c4.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ac9  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  <->  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem ac9
StepHypRef Expression
1 ac6c4.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
2 ac6c4.2 . . . 4  |-  B  e. 
_V
31, 2ac6c4 7992 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  E. f
( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
4 n0 3371 . . . 4  |-  ( X_ x  e.  A  B  =/=  (/)  <->  E. f  f  e.  X_ x  e.  A  B )
5 vex 2730 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
65elixp 6709 . . . . 5  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
76exbii 1580 . . . 4  |-  ( E. f  f  e.  X_ x  e.  A  B  <->  E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
) )
84, 7bitr2i 243 . . 3  |-  ( E. f ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)  <->  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )
93, 8sylib 190 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )
10 ixp0 6735 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  B  =  (/)  ->  X_ x  e.  A  B  =  (/) )
1110necon3ai 2452 . . 3  |-  ( X_ x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  -.  E. x  e.  A  B  =  (/) )
12 df-ne 2414 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  <->  -.  B  =  (/) )
1312ralbii 2531 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  <->  A. x  e.  A  -.  B  =  (/) )
14 ralnex 2517 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  -.  B  =  (/)  <->  -.  E. x  e.  A  B  =  (/) )
1513, 14bitri 242 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  <->  -.  E. x  e.  A  B  =  (/) )
1611, 15sylibr 205 . 2  |-  ( X_ x  e.  A  B  =/=  (/)  ->  A. x  e.  A  B  =/=  (/) )
179, 16impbii 182 1  |-  ( A. x  e.  A  B  =/=  (/)  <->  X_ x  e.  A  B  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   _Vcvv 2727   (/)c0 3362    Fn wfn 4587   ` cfv 4592   X_cixp 6703
This theorem is referenced by:  konigthlem  8070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-ac2 7973
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-suc 4291  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-ixp 6704  df-en 6750  df-card 7456  df-ac 7627
  Copyright terms: Public domain W3C validator