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Theorem ablfacrp 15136
 Description: A finite abelian group whose order factors into relatively prime integers, itself "factors" into two subgroups that have trivial intersection and whose product is the whole group. Lemma 6.1C.2 of [Shapiro], p. 199. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b
ablfacrp.o
ablfacrp.k
ablfacrp.l
ablfacrp.g
ablfacrp.m
ablfacrp.n
ablfacrp.1
ablfacrp.2
ablfacrp.z
ablfacrp.s
Assertion
Ref Expression
ablfacrp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem ablfacrp
StepHypRef Expression
1 ablfacrp.k . . . . . 6
2 ablfacrp.l . . . . . 6
31, 2ineq12i 3276 . . . . 5
4 inrab 3347 . . . . 5
53, 4eqtri 2273 . . . 4
6 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . 14
7 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . 14
86, 7odcl 14686 . . . . . . . . . . . . 13
98adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
109nn0zd 9994 . . . . . . . . . . 11
11 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . 13
1211nnzd 9995 . . . . . . . . . . . 12
1312adantr 453 . . . . . . . . . . 11
14 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . 13
1514nnzd 9995 . . . . . . . . . . . 12
1615adantr 453 . . . . . . . . . . 11
17 dvdsgcd 12596 . . . . . . . . . . 11
1810, 13, 16, 17syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10
19183impia 1153 . . . . . . . . 9
20 ablfacrp.1 . . . . . . . . . 10
21203ad2ant1 981 . . . . . . . . 9
2219, 21breqtrd 3944 . . . . . . . 8
23 simp2 961 . . . . . . . . 9
24 dvds1 12451 . . . . . . . . 9
2523, 8, 243syl 20 . . . . . . . 8
2622, 25mpbid 203 . . . . . . 7
27 ablfacrp.g . . . . . . . . . 10
28 ablgrp 14929 . . . . . . . . . 10
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9
30293ad2ant1 981 . . . . . . . 8
31 ablfacrp.z . . . . . . . . 9
327, 31, 6odeq1 14708 . . . . . . . 8
3330, 23, 32syl2anc 645 . . . . . . 7
3426, 33mpbid 203 . . . . . 6
35 elsn 3559 . . . . . 6
3634, 35sylibr 205 . . . . 5
3736rabssdv 3174 . . . 4
385, 37syl5eqss 3143 . . 3
397, 6oddvdssubg 14982 . . . . . . . 8 SubGrp
4027, 12, 39syl2anc 645 . . . . . . 7 SubGrp
411, 40syl5eqel 2337 . . . . . 6 SubGrp
4231subg0cl 14464 . . . . . 6 SubGrp
4341, 42syl 17 . . . . 5
447, 6oddvdssubg 14982 . . . . . . . 8 SubGrp
4527, 15, 44syl2anc 645 . . . . . . 7 SubGrp
462, 45syl5eqel 2337 . . . . . 6 SubGrp
4731subg0cl 14464 . . . . . 6 SubGrp
4846, 47syl 17 . . . . 5
49 elin 3266 . . . . 5
5043, 48, 49sylanbrc 648 . . . 4
5150snssd 3660 . . 3
5238, 51eqssd 3117 . 2
53 ablfacrp.s . . . . . 6
5453lsmsubg2 14986 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp
5527, 41, 46, 54syl3anc 1187 . . . 4 SubGrp
566subgss 14457 . . . 4 SubGrp
5755, 56syl 17 . . 3
58 eqid 2253 . . . . . . . 8 .g .g
596, 58mulg1 14409 . . . . . . 7 .g
6059adantl 454 . . . . . 6 .g
61 bezout 12595 . . . . . . . . 9
6212, 15, 61syl2anc 645 . . . . . . . 8
6362adantr 453 . . . . . . 7
6420ad2antrr 709 . . . . . . . . . 10
6564eqeq1d 2261 . . . . . . . . 9
6612ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6866, 67zmulcld 10002 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . 14
7015ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7270, 71zmulcld 10002 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . 14
7469, 73addcomd 8894 . . . . . . . . . . . . 13
7574oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . 12 .g .g
7629ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . 13
77 simplr 734 . . . . . . . . . . . . 13
78 eqid 2253 . . . . . . . . . . . . . 14
796, 58, 78mulgdir 14427 . . . . . . . . . . . . 13 .g .g .g
8076, 72, 68, 77, 79syl13anc 1189 . . . . . . . . . . . 12 .g .g .g
8175, 80eqtrd 2285 . . . . . . . . . . 11 .g .g .g
8241ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
8346ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
846, 58mulgcl 14419 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
8576, 72, 77, 84syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13 .g
86 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8711, 14nnmulcld 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8887nnnn0d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8986, 88eqeltrd 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
90 fvex 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
916, 90eqeltri 2323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
92 hashclb 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9391, 92ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9489, 93sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9594ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
966, 7oddvds2 14714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9776, 95, 77, 96syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9886ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9997, 98breqtrd 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1006, 7odcl 14686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101100ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102101nn0zd 9994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10366, 70zmulcld 10002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
104 dvdsmultr1 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105102, 103, 71, 104syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10699, 105mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
10766zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10870zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10971zcnd 9997 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110107, 108, 109mulassd 8738 . . . . . . . . . . . . . . 15
111106, 110breqtrd 3944 . . . . . . . . . . . . . 14
1126, 7, 58odmulgid 14702 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g
11376, 77, 72, 66, 112syl31anc 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
114111, 113mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13 .g
115 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g .g
116115breq1d 3930 . . . . . . . . . . . . . 14 .g .g
117116, 1elrab2 2862 . . . . . . . . . . . . 13 .g .g .g
11885, 114, 117sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . 12 .g
1196, 58mulgcl 14419 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
12076, 68, 77, 119syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13 .g
121 dvdsmultr1 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122102, 103, 67, 121syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12399, 122mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 zcn 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125124ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126 mulass 8705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127 mul12 8858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128126, 127eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129107, 108, 125, 128syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15
130123, 129breqtrd 3944 . . . . . . . . . . . . . 14
1316, 7, 58odmulgid 14702 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g
13276, 77, 68, 70, 131syl31anc 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 .g
133130, 132mpbird 225 . . . . . . . . . . . . 13 .g
134 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . 15 .g .g
135134breq1d 3930 . . . . . . . . . . . . . 14 .g .g
136135, 2elrab2 2862 . . . . . . . . . . . . 13 .g .g .g
137120, 133, 136sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . 12 .g
13878, 53lsmelvali 14796 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp .g .g .g .g
13982, 83, 118, 137, 138syl22anc 1188 . . . . . . . . . . 11 .g .g
14081, 139eqeltrd 2327 . . . . . . . . . 10 .g
141 oveq1 5717 . . . . . . . . . . 11 .g .g
142141eleq1d 2319 . . . . . . . . . 10 .g .g
143140, 142syl5ibrcom 215 . . . . . . . . 9 .g
14465, 143sylbid 208 . . . . . . . 8 .g
145144rexlimdvva 2636 . . . . . . 7 .g
14663, 145mpd 16 . . . . . 6 .g
14760, 146eqeltrrd 2328 . . . . 5
148147ex 425 . . . 4
149148ssrdv 3106 . . 3
15057, 149eqssd 3117 . 2
15152, 150jca 520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621  wrex 2510  crab 2512  cvv 2727   cin 3077   wss 3078  csn 3544   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  cfn 6749  cc 8615  c1 8618   caddc 8620   cmul 8622  cn 9626  cn0 9844  cz 9903  chash 11215   cdivides 12405   cgcd 12559  cbs 13022   cplusg 13082  c0g 13274  cgrp 14197  .gcmg 14201  SubGrpcsubg 14450  cod 14675  clsm 14780  cabel 14925 This theorem is referenced by:  ablfacrp2  15137  ablfac1b  15140 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-eqg 14455  df-cntz 14628  df-od 14679  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927
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