Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abianfplem Unicode version

Theorem abianfplem 6356
 Description: Lemma for abianfp 6357. We prove by transfinite induction that if has a fixed point , then its iterates also equal . This lemma is used for the "trivial" direction of the main theorem. (Contributed by NM, 4-Sep-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
abianfp.1
abianfp.2
Assertion
Ref Expression
abianfplem
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,)

Proof of Theorem abianfplem
StepHypRef Expression
1 fveq2 5377 . . 3
21eqeq1d 2261 . 2
3 fveq2 5377 . . 3
43eqeq1d 2261 . 2
5 fveq2 5377 . . 3
65eqeq1d 2261 . 2
7 abianfp.2 . . . . 5
87fveq1i 5378 . . . 4
9 vex 2730 . . . . 5
109rdg0 6320 . . . 4
118, 10eqtri 2273 . . 3
1211a1i 12 . 2
13 fvex 5391 . . . . 5
14 fveq2 5377 . . . . . 6
15 fveq2 5377 . . . . . 6
167, 14, 15rdgsucmpt2 6329 . . . . 5
1713, 16mpan2 655 . . . 4
18 fveq2 5377 . . . . 5
19 id 21 . . . . 5
2018, 19sylan9eqr 2307 . . . 4
2117, 20sylan9eq 2305 . . 3
2221exp32 591 . 2
23 vex 2730 . . . . . . . 8
24 rdglim2a 6332 . . . . . . . 8
2523, 24mpan 654 . . . . . . 7
267fveq1i 5378 . . . . . . 7
277fveq1i 5378 . . . . . . . . 9
2827a1i 12 . . . . . . . 8
2928iuneq2i 3821 . . . . . . 7
3025, 26, 293eqtr4g 2310 . . . . . 6
3130adantr 453 . . . . 5
32 iuneq2 3819 . . . . . 6
33 df-lim 4290 . . . . . . . 8
3433simp2bi 976 . . . . . . 7
35 iunconst 3811 . . . . . . 7
3634, 35syl 17 . . . . . 6
3732, 36sylan9eqr 2307 . . . . 5
3831, 37eqtrd 2285 . . . 4
3938ex 425 . . 3
4039a1d 24 . 2
412, 4, 6, 12, 22, 40tfinds2 4545 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wral 2509  cvv 2727  c0 3362  cuni 3727  ciun 3803   cmpt 3974   word 4284  con0 4285   wlim 4286   csuc 4287  cfv 4592  crdg 6308 This theorem is referenced by:  abianfp  6357 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309
 Copyright terms: Public domain W3C validator