Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem1 Unicode version

Theorem aalioulem1 19544
 Description: Lemma for aaliou 19550. An integer polynomial cannot inflate the denominator of a rational by more than its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem1.a Poly
aalioulem1.b
aalioulem1.c
Assertion
Ref Expression
aalioulem1 deg

Proof of Theorem aalioulem1
StepHypRef Expression
1 aalioulem1.a . . . . 5 Poly
2 aalioulem1.b . . . . . . 7
32zcnd 9997 . . . . . 6
4 aalioulem1.c . . . . . . 7
54nncnd 9642 . . . . . 6
64nnne0d 9670 . . . . . 6
73, 5, 6divcld 9416 . . . . 5
8 eqid 2253 . . . . . 6 coeff coeff
9 eqid 2253 . . . . . 6 deg deg
108, 9coeid2 19453 . . . . 5 Poly degcoeff
111, 7, 10syl2anc 645 . . . 4 degcoeff
1211oveq1d 5725 . . 3 deg degcoeff deg
13 fzfid 10913 . . . 4 deg
14 dgrcl 19447 . . . . . 6 Poly deg
151, 14syl 17 . . . . 5 deg
165, 15expcld 11123 . . . 4 deg
17 0z 9914 . . . . . . . 8
188coef2 19445 . . . . . . . 8 Poly coeff
191, 17, 18sylancl 646 . . . . . . 7 coeff
20 elfznn0 10700 . . . . . . 7 deg
21 ffvelrn 5515 . . . . . . 7 coeff coeff
2219, 20, 21syl2an 465 . . . . . 6 deg coeff
2322zcnd 9997 . . . . 5 deg coeff
24 expcl 10999 . . . . . 6
257, 20, 24syl2an 465 . . . . 5 deg
2623, 25mulcld 8735 . . . 4 deg coeff
2713, 16, 26fsummulc1 12124 . . 3 degcoeff deg degcoeff deg
2812, 27eqtrd 2285 . 2 deg degcoeff deg
295adantr 453 . . . . . 6 deg
3015adantr 453 . . . . . 6 deg deg
3129, 30expcld 11123 . . . . 5 deg deg
3223, 25, 31mulassd 8738 . . . 4 deg coeff deg coeff deg
332adantr 453 . . . . . . . . . 10 deg
3433zcnd 9997 . . . . . . . . 9 deg
356adantr 453 . . . . . . . . 9 deg
3620adantl 454 . . . . . . . . 9 deg
3734, 29, 35, 36expdivd 11137 . . . . . . . 8 deg
3837oveq1d 5725 . . . . . . 7 deg deg deg
3934, 36expcld 11123 . . . . . . . 8 deg
40 nnexpcl 10994 . . . . . . . . . 10
414, 20, 40syl2an 465 . . . . . . . . 9 deg
4241nncnd 9642 . . . . . . . 8 deg
4341nnne0d 9670 . . . . . . . 8 deg
4439, 42, 31, 43div13d 9440 . . . . . . 7 deg deg deg
4538, 44eqtrd 2285 . . . . . 6 deg deg deg
46 elfzelz 10676 . . . . . . . . . 10 deg
4746adantl 454 . . . . . . . . 9 deg
4830nn0zd 9994 . . . . . . . . 9 deg deg
4929, 35, 47, 48expsubd 11134 . . . . . . . 8 deg deg deg
504adantr 453 . . . . . . . . . 10 deg
5150nnzd 9995 . . . . . . . . 9 deg
52 fznn0sub 10702 . . . . . . . . . 10 deg deg
5352adantl 454 . . . . . . . . 9 deg deg
54 zexpcl 10996 . . . . . . . . 9 deg deg
5551, 53, 54syl2anc 645 . . . . . . . 8 deg deg
5649, 55eqeltrrd 2328 . . . . . . 7 deg deg
57 zexpcl 10996 . . . . . . . 8
582, 20, 57syl2an 465 . . . . . . 7 deg
5956, 58zmulcld 10002 . . . . . 6 deg deg
6045, 59eqeltrd 2327 . . . . 5 deg deg
6122, 60zmulcld 10002 . . . 4 deg coeff deg
6232, 61eqeltrd 2327 . . 3 deg coeff deg
6313, 62fsumzcl 12085 . 2 degcoeff deg
6428, 63eqeltrd 2327 1 deg
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cc0 8617   cmul 8622   cmin 8917   cdiv 9303  cn 9626  cn0 9844  cz 9903  cfz 10660  cexp 10982  csu 12035  Polycply 19398  coeffccoe 19400  degcdgr 19401 This theorem is referenced by:  aalioulem4  19547 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-0p 18857  df-ply 19402  df-coe 19404  df-dgr 19405
 Copyright terms: Public domain W3C validator