Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atex Unicode version

Theorem 4atex 28954
 Description: Whenever there are at least 4 atoms under (specifically, , , , and ), there are also at least 4 atoms under . This proves the statement in Lemma E of [Crawley] p. 114, last line, "...p q/0 and hence p s/0 contains at least four atoms..." Note that by cvlsupr2 28222, our is a shorter way to express . (Contributed by NM, 27-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
4that.l
4that.j
4that.a
4that.h
Assertion
Ref Expression
4atex
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem 4atex
StepHypRef Expression
1 simp21l 1077 . . . . 5
21ad2antrr 709 . . . 4
3 simp21r 1078 . . . . 5
43ad2antrr 709 . . . 4
5 oveq1 5717 . . . . . 6
65eqcoms 2256 . . . . 5
76adantl 454 . . . 4
8 breq1 3923 . . . . . . 7
98notbid 287 . . . . . 6
10 oveq2 5718 . . . . . . 7
11 oveq2 5718 . . . . . . 7
1210, 11eqeq12d 2267 . . . . . 6
139, 12anbi12d 694 . . . . 5
1413rcla4ev 2821 . . . 4
152, 4, 7, 14syl12anc 1185 . . 3
16 simpl3r 1016 . . . . . 6
1716ad2antrr 709 . . . . 5
18 oveq1 5717 . . . . . . . . . 10
1918eqeq2d 2264 . . . . . . . . 9
2019anbi2d 687 . . . . . . . 8
2120rexbidv 2528 . . . . . . 7
22 breq1 3923 . . . . . . . . . 10
2322notbid 287 . . . . . . . . 9
24 oveq2 5718 . . . . . . . . . 10
25 oveq2 5718 . . . . . . . . . 10
2624, 25eqeq12d 2267 . . . . . . . . 9
2723, 26anbi12d 694 . . . . . . . 8
2827cbvrexv 2709 . . . . . . 7
2921, 28syl6rbbr 257 . . . . . 6
3029adantl 454 . . . . 5
3117, 30mpbid 203 . . . 4
32 simp22l 1079 . . . . . 6
3332ad3antrrr 713 . . . . 5
34 simp22r 1080 . . . . . 6
3534ad3antrrr 713 . . . . 5
36 simp3l 988 . . . . . . . 8
3736necomd 2495 . . . . . . 7
3837ad3antrrr 713 . . . . . 6
39 simpr 449 . . . . . . 7
4039necomd 2495 . . . . . 6
41 simpllr 738 . . . . . . 7
42 simp1l 984 . . . . . . . . . 10
43 hlcvl 28238 . . . . . . . . . 10
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9
4544ad3antrrr 713 . . . . . . . 8
46 simp23 995 . . . . . . . . 9
4746ad3antrrr 713 . . . . . . . 8
481ad3antrrr 713 . . . . . . . 8
49 simplr 734 . . . . . . . 8
50 4that.l . . . . . . . . 9
51 4that.j . . . . . . . . 9
52 4that.a . . . . . . . . 9
5350, 51, 52cvlatexch1 28215 . . . . . . . 8
5445, 47, 33, 48, 49, 53syl131anc 1200 . . . . . . 7
5541, 54mpd 16 . . . . . 6
5649necomd 2495 . . . . . . 7
5752, 50, 51cvlsupr2 28222 . . . . . . 7
5845, 48, 47, 33, 56, 57syl131anc 1200 . . . . . 6
5938, 40, 55, 58mpbir3and 1140 . . . . 5
60 breq1 3923 . . . . . . . 8
6160notbid 287 . . . . . . 7
62 oveq2 5718 . . . . . . . 8
63 oveq2 5718 . . . . . . . 8
6462, 63eqeq12d 2267 . . . . . . 7
6561, 64anbi12d 694 . . . . . 6
6665rcla4ev 2821 . . . . 5
6733, 35, 59, 66syl12anc 1185 . . . 4
6831, 67pm2.61dane 2490 . . 3
6915, 68pm2.61dane 2490 . 2
70 simpl1 963 . . 3
71 simpl2 964 . . 3
72 simpl3l 1015 . . 3
73 simpr 449 . . 3
74 simpl3r 1016 . . 3
75 4that.h . . . 4
7650, 51, 52, 754atexlem7 28953 . . 3
7770, 71, 72, 73, 74, 76syl113anc 1199 . 2
7869, 77pm2.61dan 769 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 5   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wrex 2510   class class class wbr 3920  cfv 4592  (class class class)co 5710  cple 13089  cjn 13922  catm 28142  clc 28144  chlt 28229  clh 28862 This theorem is referenced by:  4atex2  28955 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lhyp 28866
 Copyright terms: Public domain W3C validator