Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2wlkonot3v Unicode version

Theorem 2wlkonot3v 28072
 Description: If an ordered triple represents a walk of length 2, its components are vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
2wlkonot3v 2WalksOnOt

Proof of Theorem 2wlkonot3v
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3594 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt
2 df-ov 6043 . . . . 5 2WalksOnOt 2WalksOnOt
3 ndmfv 5714 . . . . 5 2WalksOnOt 2WalksOnOt
42, 3syl5eq 2448 . . . 4 2WalksOnOt 2WalksOnOt
54necon1ai 2609 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6 simpl 444 . . . . . . . . 9
7 id 20 . . . . . . . . . . . . 13
87, 7xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . . 12
98, 7xpeq12d 4862 . . . . . . . . . . 11
109adantr 452 . . . . . . . . . 10
11 oveq12 6049 . . . . . . . . . . . . . 14 WalkOn WalkOn
1211oveqd 6057 . . . . . . . . . . . . 13 WalkOn WalkOn
1312breqd 4183 . . . . . . . . . . . 12 WalkOn WalkOn
14133anbi1d 1258 . . . . . . . . . . 11 WalkOn WalkOn
15142exbidv 1635 . . . . . . . . . 10 WalkOn WalkOn
1610, 15rabeqbidv 2911 . . . . . . . . 9 WalkOn WalkOn
176, 6, 16mpt2eq123dv 6095 . . . . . . . 8 WalkOn WalkOn
18 df-2wlkonot 28055 . . . . . . . 8 2WalksOnOt WalkOn
1917, 18ovmpt2ga 6162 . . . . . . 7 WalkOn 2WalksOnOt WalkOn
2019dmeqd 5031 . . . . . 6 WalkOn 2WalksOnOt WalkOn
2120eleq2d 2471 . . . . 5 WalkOn 2WalksOnOt WalkOn
22 dmoprabss 6114 . . . . . . . . 9 WalkOn
2322sseli 3304 . . . . . . . 8 WalkOn
24 opelxp 4867 . . . . . . . . . . . 12
25 2wlkonot 28062 . . . . . . . . . . . . . . 15 2WalksOnOt WalkOn
2625eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 2WalksOnOt WalkOn
27 elrabi 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15 WalkOn
28 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2928adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
30 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3130adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3329, 31, 323jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15
3527, 34syl5 30 . . . . . . . . . . . . . 14 WalkOn
3626, 35sylbid 207 . . . . . . . . . . . . 13 2WalksOnOt
3736expcom 425 . . . . . . . . . . . 12 2WalksOnOt
3824, 37sylbi 188 . . . . . . . . . . 11 2WalksOnOt
3938com12 29 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt
40393adant3 977 . . . . . . . . 9 WalkOn 2WalksOnOt
4140com12 29 . . . . . . . 8 WalkOn 2WalksOnOt
4223, 41syl 16 . . . . . . 7 WalkOn WalkOn 2WalksOnOt
43 df-mpt2 6045 . . . . . . . 8 WalkOn WalkOn
4443dmeqi 5030 . . . . . . 7 WalkOn WalkOn
4542, 44eleq2s 2496 . . . . . 6 WalkOn WalkOn 2WalksOnOt
4645com12 29 . . . . 5 WalkOn WalkOn 2WalksOnOt
4721, 46sylbid 207 . . . 4 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
48 3ianor 951 . . . . 5 WalkOn WalkOn
49 df-3or 937 . . . . . 6 WalkOn WalkOn
50 ianor 475 . . . . . . . . 9
5118mpt2ndm0 6432 . . . . . . . . . . . . 13 2WalksOnOt
5251dmeqd 5031 . . . . . . . . . . . 12 2WalksOnOt
5352eleq2d 2471 . . . . . . . . . . 11 2WalksOnOt
54 dm0 5042 . . . . . . . . . . . 12
5554eleq2i 2468 . . . . . . . . . . 11
5653, 55syl6bb 253 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt
57 noel 3592 . . . . . . . . . . 11
5857pm2.21i 125 . . . . . . . . . 10 2WalksOnOt
5956, 58syl6bi 220 . . . . . . . . 9 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6050, 59sylbir 205 . . . . . . . 8 2WalksOnOt 2WalksOnOt
61 anor 476 . . . . . . . . . 10
62 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14
6362ancri 536 . . . . . . . . . . . . 13
6463adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
65 mpt2exga 6383 . . . . . . . . . . . 12 WalkOn
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . 11 WalkOn
6766pm2.24d 137 . . . . . . . . . 10 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6861, 67sylbir 205 . . . . . . . . 9 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
6968imp 419 . . . . . . . 8 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7060, 69jaoi 369 . . . . . . 7 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7170jaoi2 934 . . . . . 6 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7249, 71sylbi 188 . . . . 5 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7348, 72sylbi 188 . . . 4 WalkOn 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7447, 73pm2.61i 158 . . 3 2WalksOnOt 2WalksOnOt
751, 5, 743syl 19 . 2 2WalksOnOt 2WalksOnOt
7675pm2.43i 45 1 2WalksOnOt
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 358   wa 359   w3o 935   w3a 936  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  crab 2670  cvv 2916  c0 3588  cop 3777   class class class wbr 4172   cxp 4835   cdm 4837  cfv 5413  (class class class)co 6040  coprab 6041   cmpt2 6042  c1st 6306  c2nd 6307  c1 8947  c2 10005  chash 11573   WalkOn cwlkon 21463   2WalksOnOt c2wlkonot 28052 This theorem is referenced by:  2wlkonotv  28074  el2wlksoton  28075  frg2woteq  28163 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-2wlkonot 28055
 Copyright terms: Public domain W3C validator