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Theorem 1stcelcls 17019
 Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 7945. A space satisfying the conclusion of this theorem is called a sequential space, so the theorem can also be stated as "every first-countable space is a sequential space". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcelcls.1
Assertion
Ref Expression
1stcelcls
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem 1stcelcls
StepHypRef Expression
1 simpll 733 . . . . 5
2 1stctop 17001 . . . . . . 7
3 1stcelcls.1 . . . . . . . 8
43clsss3 16628 . . . . . . 7
52, 4sylan 459 . . . . . 6
65sselda 3103 . . . . 5
731stcfb 17003 . . . . 5
81, 6, 7syl2anc 645 . . . 4
9 simpr1 966 . . . . . . . . . . . . 13
10 ffvelrn 5515 . . . . . . . . . . . . 13
119, 10sylan 459 . . . . . . . . . . . 12
123elcls2 16643 . . . . . . . . . . . . . . 15
132, 12sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14
1413simplbda 610 . . . . . . . . . . . . 13
1514ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . 12
16 simpr2 967 . . . . . . . . . . . . . 14
17 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817ralimi 2580 . . . . . . . . . . . . . 14
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
20 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120eleq2d 2320 . . . . . . . . . . . . . 14
2221rcla4cva 2820 . . . . . . . . . . . . 13
2319, 22sylan 459 . . . . . . . . . . . 12
24 eleq2 2314 . . . . . . . . . . . . . 14
25 ineq1 3271 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625neeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . . 14
2724, 26imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . 13
2827rcla4v 2817 . . . . . . . . . . . 12
2911, 15, 23, 28syl3c 59 . . . . . . . . . . 11
30 elin 3266 . . . . . . . . . . . . . 14
31 ancom 439 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31bitri 242 . . . . . . . . . . . . 13
3332exbii 1580 . . . . . . . . . . . 12
34 n0 3371 . . . . . . . . . . . 12
35 df-rex 2514 . . . . . . . . . . . 12
3633, 34, 353bitr4i 270 . . . . . . . . . . 11
3729, 36sylib 190 . . . . . . . . . 10
38 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . 14
392ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15
403topopn 16484 . . . . . . . . . . . . . . 15
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
42 ssexg 4057 . . . . . . . . . . . . . 14
4338, 41, 42syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13
44 fvi 5431 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12
4645ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11
4746rexeqdv 2695 . . . . . . . . . 10
4837, 47mpbird 225 . . . . . . . . 9
4948ralrimiva 2588 . . . . . . . 8
50 fvex 5391 . . . . . . . . 9
51 nnenom 10920 . . . . . . . . 9
52 eleq1 2313 . . . . . . . . 9
5350, 51, 52axcc4 7949 . . . . . . . 8
5449, 53syl 17 . . . . . . 7
55 feq3 5234 . . . . . . . . . . . 12
5645, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11
5756biimpd 200 . . . . . . . . . 10
5857adantr 453 . . . . . . . . 9
596ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . 12
60 simplr3 1004 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 eleq2 2314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6362sseq1d 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6463cbvrexv 2709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65 sseq2 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6665rexbidv 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6764, 66syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6861, 67imbi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968rcla4cva 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15
7060, 69sylan 459 . . . . . . . . . . . . . 14
71 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7271ralimi 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7316, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7473adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
75 simprrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7776sseq1d 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7877imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
79 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8079sseq1d 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8180imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8382sseq1d 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8483imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
85 ssid 3118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8685a1ii 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
87 nnuz 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8887uztrn2 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
89 oveq1 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9089fveq2d 5381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
91 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9290, 91sseq12d 3128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9392rcla4cva 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9488, 93sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9594anassrs 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
96 sstr2 3107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9897expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9998a2d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10078, 81, 84, 81, 86, 99uzind4 10155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101100com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102101ralrimiv 2587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10374, 75, 102syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10475, 88sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
105 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
106105ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
107 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
108107, 79eleq12d 2321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
109108rcla4v 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
110104, 106, 109sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
111110ralrimiva 2588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112 r19.26 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113103, 111, 112sylanbrc 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114 ssel2 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115114ralimi 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117 ssel 3097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118117ralimdv 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119116, 118syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120119anassrs 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120anassrs 632 . . . . . . . . . . . . . . 15
122121reximdva 2617 . . . . . . . . . . . . . 14
12370, 122syld 42 . . . . . . . . . . . . 13
124123ralrimiva 2588 . . . . . . . . . . . 12
12539ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14
1263toptopon 16503 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
127125, 126sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
128 1z 9932 . . . . . . . . . . . . . 14
129128a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13
130 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . 14
13138ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . 14
132 fss 5254 . . . . . . . . . . . . . 14
133130, 131, 132syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13
134 eqidd 2254 . . . . . . . . . . . . 13
135127, 87, 129, 133, 134lmbrf 16822 . . . . . . . . . . . 12
13659, 124, 135mpbir2and 893 . . . . . . . . . . 11
137136expr 601 . . . . . . . . . 10
138137imdistanda 677 . . . . . . . . 9
13958, 138syland 469 . . . . . . . 8
140139eximdv 2018 . . . . . . 7
14154, 140mpd 16 . . . . . 6
142141ex 425 . . . . 5
143142exlimdv 1932 . . . 4
1448, 143mpd 16 . . 3
145144ex 425 . 2
1462ad2antrr 709 . . . . . 6
147146, 126sylib 190 . . . . 5 TopOn
148128a1i 12 . . . . 5
149 simprr 736 . . . . 5
150 simprl 735 . . . . . 6
151 ffvelrn 5515 . . . . . 6
152150, 151sylan 459 . . . . 5
153 simplr 734 . . . . 5
15487, 147, 148, 149, 152, 153lmcls 16862 . . . 4
155154ex 425 . . 3
156155exlimdv 1932 . 2
157145, 156impbid 185 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   w3a 939  wex 1537   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412  wral 2509  wrex 2510  cvv 2727   cin 3077   wss 3078  c0 3362  cuni 3727   class class class wbr 3920   cid 4197  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710  c1 8618   caddc 8620  cn 9626  cz 9903  cuz 10109  ctop 16463  TopOnctopon 16464  ccl 16587  clm 16788  c1stc 16995 This theorem is referenced by:  1stccnp  17020  hausmapdom  17058  1stckgen  17081  metelcls  18562 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-top 16468  df-topon 16471  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-lm 16791  df-1stc 16997
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