MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lt1 Unicode version

Theorem 0lt1 9176
Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
0lt1  |-  0  <  1

Proof of Theorem 0lt1
StepHypRef Expression
1 1re 8717 . . 3  |-  1  e.  RR
2 ax-1ne0 8686 . . 3  |-  1  =/=  0
3 msqgt0 9174 . . 3  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  =/=  0 )  -> 
0  <  ( 1  x.  1 ) )
41, 2, 3mp2an 656 . 2  |-  0  <  ( 1  x.  1 )
5 ax-1cn 8675 . . 3  |-  1  e.  CC
65mulid1i 8719 . 2  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
74, 6breqtri 3943 1  |-  0  <  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1621    =/= wne 2412   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    x. cmul 8622    < clt 8747
This theorem is referenced by:  0le1  9177  eqneg  9360  elimgt0  9472  ltp1  9474  ltm1  9476  recgt0  9480  mulgt1  9495  reclt1  9531  recgt1  9532  recgt1i  9533  recp1lt1  9534  recreclt  9535  recgt0ii  9542  inelr  9616  nnge1  9652  nngt0  9655  0nnn  9657  nnrecgt0  9663  2pos  9708  3pos  9710  4pos  9712  5pos  9713  6pos  9714  7pos  9715  8pos  9716  9pos  9717  10pos  9718  halflt1  9812  elnnnn0c  9888  elnnz1  9928  recnz  9966  1rp  10237  xmulid1  10477  fz10  10692  1mod  10874  expgt1  11018  ltexp2a  11031  expcan  11032  ltexp2  11033  leexp2  11034  leexp2a  11035  expnbnd  11108  expnlbnd  11109  expnlbnd2  11110  expmulnbnd  11111  discr1  11115  bcn1  11203  s2fv0  11412  resqrex  11613  mulcn2  11946  cvgrat  12213  cos1bnd  12341  sin01gt0  12344  sincos1sgn  12347  ruclem8  12389  nthruz  12404  sadcadd  12523  divdenle  12694  43prm  12997  ipostr  14100  abvtrivd  15440  gzrngunit  16269  znidomb  16347  thlle  16429  leordtval2  16774  mopnex  17897  dscopn  17928  metnrmlem1a  18194  xrhmph  18277  evth  18289  xlebnum  18295  vitalilem4  18798  vitalilem5  18799  vitali  18800  ply1remlem  19380  plyremlem  19516  plyrem  19517  vieta1lem2  19523  reeff1olem  19654  sinhalfpilem  19666  rplogcl  19790  logtayllem  19838  cxplt  19909  cxple  19910  atanre  20013  atanlogaddlem  20041  ressatans  20062  rlimcnp  20092  rlimcnp2  20093  cxp2limlem  20102  cxp2lim  20103  cxploglim2  20105  amgmlem  20116  emcllem2  20122  harmonicubnd  20135  fsumharmonic  20137  ftalem1  20142  ftalem2  20143  chpchtsum  20290  chpub  20291  mersenne  20298  perfectlem2  20301  efexple  20352  lgsdir2lem3  20396  chebbnd1  20453  dchrmusumlema  20474  dchrvmasumlem2  20479  dchrvmasumiflem1  20482  dchrisum0flblem2  20490  dchrisum0lema  20495  dchrisum0lem1  20497  dchrisum0lem2a  20498  mulog2sumlem1  20515  chpdifbndlem1  20534  chpdifbnd  20536  selberg3lem1  20538  pntrmax  20545  pntrsumo1  20546  pntpbnd1a  20566  pntpbnd2  20568  pntibndlem1  20570  pntlem3  20590  pnt  20595  ostth2lem1  20599  ostth2lem3  20616  ostth2lem4  20617  zetacvg  22860  fz0n  23267  axcontlem2  23767  bpoly4  23968  pellexlem2  26081  pellexlem6  26085  pell14qrgt0  26110  elpell1qr2  26123  pellfundex  26137  pellfundrp  26139  rmxypos  26200  sgn1  26938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920
  Copyright terms: Public domain W3C validator