Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0fallfac Unicode version

Theorem 0fallfac 25304
Description: The value of the zero falling factorial at natural  N. (Contributed by Scott Fenton, 17-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
0fallfac  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 FallFac  N )  =  0 )

Proof of Theorem 0fallfac
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9040 . . 3  |-  0  e.  CC
2 nnnn0 10184 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
3 fallfacval 25278 . . 3  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 0  -  k
) )
41, 2, 3sylancr 645 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 FallFac  N )  =  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 0  -  k ) )
5 nnm1nn0 10217 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6 nn0uz 10476 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
75, 6syl6eleq 2494 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
8 elfzelz 11015 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
98zcnd 10332 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  CC )
10 subcl 9261 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 0  -  k
)  e.  CC )
111, 9, 10sylancr 645 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
0  -  k )  e.  CC )
1211adantl 453 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 0  -  k )  e.  CC )
13 oveq2 6048 . . . 4  |-  ( k  =  0  ->  (
0  -  k )  =  ( 0  -  0 ) )
141subidi 9327 . . . 4  |-  ( 0  -  0 )  =  0
1513, 14syl6eq 2452 . . 3  |-  ( k  =  0  ->  (
0  -  k )  =  0 )
167, 12, 15fprod1p 25244 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  prod_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( 0  -  k )  =  ( 0  x.  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( 0  -  k ) ) )
17 fzfid 11267 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
18 elfzelz 11015 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
1918zcnd 10332 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  CC )
201, 19, 10sylancr 645 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  (
0  -  k )  e.  CC )
2120adantl 453 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 0  -  k )  e.  CC )
2217, 21fprodcl 25231 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( 0  -  k )  e.  CC )
2322mul02d 9220 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  x.  prod_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( 0  -  k ) )  =  0 )
244, 16, 233eqtrd 2440 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 FallFac  N )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   prod_cprod 25184   FallFac cfallfac 25273
This theorem is referenced by:  0risefac  25305
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-prod 25185  df-fallfac 25276
  Copyright terms: Public domain W3C validator