ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zletr GIF version

Theorem zletr 8294
Description: Transitive law of ordering for integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
zletr ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾𝐾𝐿) → 𝐽𝐿))

Proof of Theorem zletr
StepHypRef Expression
1 zre 8249 . 2 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
2 zre 8249 . 2 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
3 zre 8249 . 2 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
4 letr 7101 . 2 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝐽𝐾𝐾𝐿) → 𝐽𝐿))
51, 2, 3, 4syl3an 1177 1 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐽𝐾𝐾𝐿) → 𝐽𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  w3a 885  wcel 1393   class class class wbr 3764  cr 6888  cle 7061  cz 8245
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltwlin 6997
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-iota 4867  df-fv 4910  df-ov 5515  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-neg 7185  df-z 8246
This theorem is referenced by:  uztrn  8489  uzss  8493  elfz0ubfz0  8982
  Copyright terms: Public domain W3C validator