ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zindd Structured version   GIF version

Theorem zindd 8132
Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zindd.1 (x = 0 → (φψ))
zindd.2 (x = y → (φχ))
zindd.3 (x = (y + 1) → (φτ))
zindd.4 (x = -y → (φθ))
zindd.5 (x = A → (φη))
zindd.6 (ζψ)
zindd.7 (ζ → (y 0 → (χτ)))
zindd.8 (ζ → (y ℕ → (χθ)))
Assertion
Ref Expression
zindd (ζ → (A ℤ → η))
Distinct variable groups:   x,A   χ,x   η,x   φ,y   ψ,x   τ,x   θ,x   x,y,ζ
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   χ(y)   θ(y)   τ(y)   η(y)   A(y)

Proof of Theorem zindd
StepHypRef Expression
1 znegcl 8052 . . . . . . 7 (y ℤ → -y ℤ)
2 elznn0nn 8035 . . . . . . 7 (-y ℤ ↔ (-y 0 (-y --y ℕ)))
31, 2sylib 127 . . . . . 6 (y ℤ → (-y 0 (-y --y ℕ)))
4 simpr 103 . . . . . . 7 ((-y --y ℕ) → --y ℕ)
54orim2i 677 . . . . . 6 ((-y 0 (-y --y ℕ)) → (-y 0 --y ℕ))
63, 5syl 14 . . . . 5 (y ℤ → (-y 0 --y ℕ))
7 zcn 8026 . . . . . . . 8 (y ℤ → y ℂ)
87negnegd 7109 . . . . . . 7 (y ℤ → --y = y)
98eleq1d 2103 . . . . . 6 (y ℤ → (--y ℕ ↔ y ℕ))
109orbi2d 703 . . . . 5 (y ℤ → ((-y 0 --y ℕ) ↔ (-y 0 y ℕ)))
116, 10mpbid 135 . . . 4 (y ℤ → (-y 0 y ℕ))
12 zindd.1 . . . . . . . 8 (x = 0 → (φψ))
1312imbi2d 219 . . . . . . 7 (x = 0 → ((ζφ) ↔ (ζψ)))
14 zindd.2 . . . . . . . 8 (x = y → (φχ))
1514imbi2d 219 . . . . . . 7 (x = y → ((ζφ) ↔ (ζχ)))
16 zindd.3 . . . . . . . 8 (x = (y + 1) → (φτ))
1716imbi2d 219 . . . . . . 7 (x = (y + 1) → ((ζφ) ↔ (ζτ)))
18 zindd.4 . . . . . . . 8 (x = -y → (φθ))
1918imbi2d 219 . . . . . . 7 (x = -y → ((ζφ) ↔ (ζθ)))
20 zindd.6 . . . . . . 7 (ζψ)
21 zindd.7 . . . . . . . . 9 (ζ → (y 0 → (χτ)))
2221com12 27 . . . . . . . 8 (y 0 → (ζ → (χτ)))
2322a2d 23 . . . . . . 7 (y 0 → ((ζχ) → (ζτ)))
2413, 15, 17, 19, 20, 23nn0ind 8128 . . . . . 6 (-y 0 → (ζθ))
2524com12 27 . . . . 5 (ζ → (-y 0θ))
26 nnnn0 7964 . . . . . . . 8 (y ℕ → y 0)
2713, 15, 17, 15, 20, 23nn0ind 8128 . . . . . . . 8 (y 0 → (ζχ))
2826, 27syl 14 . . . . . . 7 (y ℕ → (ζχ))
2928com12 27 . . . . . 6 (ζ → (y ℕ → χ))
30 zindd.8 . . . . . 6 (ζ → (y ℕ → (χθ)))
3129, 30mpdd 36 . . . . 5 (ζ → (y ℕ → θ))
3225, 31jaod 636 . . . 4 (ζ → ((-y 0 y ℕ) → θ))
3311, 32syl5 28 . . 3 (ζ → (y ℤ → θ))
3433ralrimiv 2385 . 2 (ζy θ)
35 znegcl 8052 . . . . 5 (x ℤ → -x ℤ)
36 negeq 7001 . . . . . . . . 9 (y = -x → -y = --x)
37 zcn 8026 . . . . . . . . . 10 (x ℤ → x ℂ)
3837negnegd 7109 . . . . . . . . 9 (x ℤ → --x = x)
3936, 38sylan9eqr 2091 . . . . . . . 8 ((x y = -x) → -y = x)
4039eqcomd 2042 . . . . . . 7 ((x y = -x) → x = -y)
4140, 18syl 14 . . . . . 6 ((x y = -x) → (φθ))
4241bicomd 129 . . . . 5 ((x y = -x) → (θφ))
4335, 42rspcdv 2653 . . . 4 (x ℤ → (y θφ))
4443com12 27 . . 3 (y θ → (x ℤ → φ))
4544ralrimiv 2385 . 2 (y θx φ)
46 zindd.5 . . 3 (x = A → (φη))
4746rspccv 2647 . 2 (x φ → (A ℤ → η))
4834, 45, 473syl 17 1 (ζ → (A ℤ → η))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  (class class class)co 5455  cr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714  -cneg 6980  cn 7695  0cn0 7957  cz 8021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator