Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zindd GIF version

Theorem zindd 8356
 Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zindd.1 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
zindd.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
zindd.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜏))
zindd.4 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜃))
zindd.5 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜂))
zindd.6 (𝜁𝜓)
zindd.7 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜏)))
zindd.8 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒𝜃)))
Assertion
Ref Expression
zindd (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜒,𝑥   𝜂,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥   𝑥,𝑦,𝜁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦)   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem zindd
StepHypRef Expression
1 znegcl 8276 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
2 elznn0nn 8259 . . . . . . 7 (-𝑦 ∈ ℤ ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
31, 2sylib 127 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)))
4 simpr 103 . . . . . . 7 ((-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ) → --𝑦 ∈ ℕ)
54orim2i 678 . . . . . 6 ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ --𝑦 ∈ ℕ)) → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
63, 5syl 14 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ))
7 zcn 8250 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
87negnegd 7313 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℤ → --𝑦 = 𝑦)
98eleq1d 2106 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → (--𝑦 ∈ ℕ ↔ 𝑦 ∈ ℕ))
109orbi2d 704 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → ((-𝑦 ∈ ℕ0 ∨ --𝑦 ∈ ℕ) ↔ (-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ)))
116, 10mpbid 135 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ))
12 zindd.1 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
1312imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜓)))
14 zindd.2 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
1514imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜒)))
16 zindd.3 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜏))
1716imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜏)))
18 zindd.4 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑦 → (𝜑𝜃))
1918imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑦 → ((𝜁𝜑) ↔ (𝜁𝜃)))
20 zindd.6 . . . . . . 7 (𝜁𝜓)
21 zindd.7 . . . . . . . . 9 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜒𝜏)))
2221com12 27 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁 → (𝜒𝜏)))
2322a2d 23 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝜁𝜒) → (𝜁𝜏)))
2413, 15, 17, 19, 20, 23nn0ind 8352 . . . . . 6 (-𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁𝜃))
2524com12 27 . . . . 5 (𝜁 → (-𝑦 ∈ ℕ0𝜃))
26 nnnn0 8188 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
2713, 15, 17, 15, 20, 23nn0ind 8352 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ0 → (𝜁𝜒))
2826, 27syl 14 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → (𝜁𝜒))
2928com12 27 . . . . . 6 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒))
30 zindd.8 . . . . . 6 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → (𝜒𝜃)))
3129, 30mpdd 36 . . . . 5 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℕ → 𝜃))
3225, 31jaod 637 . . . 4 (𝜁 → ((-𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ) → 𝜃))
3311, 32syl5 28 . . 3 (𝜁 → (𝑦 ∈ ℤ → 𝜃))
3433ralrimiv 2391 . 2 (𝜁 → ∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃)
35 znegcl 8276 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
36 negeq 7204 . . . . . . . . 9 (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
37 zcn 8250 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3837negnegd 7313 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → --𝑥 = 𝑥)
3936, 38sylan9eqr 2094 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → -𝑦 = 𝑥)
4039eqcomd 2045 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → 𝑥 = -𝑦)
4140, 18syl 14 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜑𝜃))
4241bicomd 129 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 = -𝑥) → (𝜃𝜑))
4335, 42rspcdv 2659 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃𝜑))
4443com12 27 . . 3 (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝜑))
4544ralrimiv 2391 . 2 (∀𝑦 ∈ ℤ 𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑)
46 zindd.5 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜂))
4746rspccv 2653 . 2 (∀𝑥 ∈ ℤ 𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
4834, 45, 473syl 17 1 (𝜁 → (𝐴 ∈ ℤ → 𝜂))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892  -cneg 7183  ℕcn 7914  ℕ0cn0 8181  ℤcz 8245 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator