ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zextle Structured version   GIF version

Theorem zextle 8107
Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
zextle ((𝑀 𝑁 𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextle
StepHypRef Expression
1 zre 8025 . . . . . . . . 9 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℝ)
21leidd 7301 . . . . . . . 8 (𝑀 ℤ → 𝑀𝑀)
32adantr 261 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑀)
4 breq1 3758 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑀𝑀𝑀))
5 breq1 3758 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑁𝑀𝑁))
64, 5bibi12d 224 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘𝑀𝑘𝑁) ↔ (𝑀𝑀𝑀𝑁)))
76rspcva 2648 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑀𝑀𝑀𝑁))
83, 7mpbid 135 . . . . . 6 ((𝑀 𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑁)
98adantlr 446 . . . . 5 (((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑁)
10 zre 8025 . . . . . . . . 9 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
1110leidd 7301 . . . . . . . 8 (𝑁 ℤ → 𝑁𝑁)
1211adantr 261 . . . . . . 7 ((𝑁 𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑁)
13 breq1 3758 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝑀𝑁𝑀))
14 breq1 3758 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝑁𝑁𝑁))
1513, 14bibi12d 224 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘𝑀𝑘𝑁) ↔ (𝑁𝑀𝑁𝑁)))
1615rspcva 2648 . . . . . . 7 ((𝑁 𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑁𝑀𝑁𝑁))
1712, 16mpbird 156 . . . . . 6 ((𝑁 𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑀)
1817adantll 445 . . . . 5 (((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑀)
199, 18jca 290 . . . 4 (((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑀𝑁 𝑁𝑀))
2019ex 108 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁) → (𝑀𝑁 𝑁𝑀)))
21 letri3 6896 . . . 4 ((𝑀 𝑁 ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁 𝑁𝑀)))
221, 10, 21syl2an 273 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁 𝑁𝑀)))
2320, 22sylibrd 158 . 2 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
24233impia 1100 1 ((𝑀 𝑁 𝑘 ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   class class class wbr 3755  cr 6710  cle 6858  cz 8021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-apti 6798
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022
This theorem is referenced by:  zextlt  8108
  Copyright terms: Public domain W3C validator