Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zextle GIF version

Theorem zextle 8331
 Description: An extensionality-like property for integer ordering. (Contributed by NM, 29-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
zextle ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem zextle
StepHypRef Expression
1 zre 8249 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
21leidd 7506 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀𝑀)
32adantr 261 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑀)
4 breq1 3767 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑀𝑀𝑀))
5 breq1 3767 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑁𝑀𝑁))
64, 5bibi12d 224 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘𝑀𝑘𝑁) ↔ (𝑀𝑀𝑀𝑁)))
76rspcva 2654 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑀𝑀𝑀𝑁))
83, 7mpbid 135 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑁)
98adantlr 446 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀𝑁)
10 zre 8249 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1110leidd 7506 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
1211adantr 261 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑁)
13 breq1 3767 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝑀𝑁𝑀))
14 breq1 3767 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑁 → (𝑘𝑁𝑁𝑁))
1513, 14bibi12d 224 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑘𝑀𝑘𝑁) ↔ (𝑁𝑀𝑁𝑁)))
1615rspcva 2654 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑁𝑀𝑁𝑁))
1712, 16mpbird 156 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑀)
1817adantll 445 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑁𝑀)
199, 18jca 290 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
2019ex 108 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁) → (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
21 letri3 7099 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
221, 10, 21syl2an 273 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2320, 22sylibrd 158 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
24233impia 1101 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑘 ∈ ℤ (𝑘𝑀𝑘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306   class class class wbr 3764  ℝcr 6888   ≤ cle 7061  ℤcz 8245 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-apti 6999 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-iota 4867  df-fv 4910  df-ov 5515  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-neg 7185  df-z 8246 This theorem is referenced by:  zextlt  8332
 Copyright terms: Public domain W3C validator