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Theorem zesq 8980
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq (𝑁 ℤ → ((𝑁 / 2) ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ℤ))

Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 7986 . . . . . . 7 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℂ)
2 sqval 8926 . . . . . . 7 (𝑁 ℂ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
31, 2syl 14 . . . . . 6 (𝑁 ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
43oveq1d 5470 . . . . 5 (𝑁 ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = ((𝑁 · 𝑁) / 2))
5 2cnd 7728 . . . . . 6 (𝑁 ℤ → 2 ℂ)
6 2ap0 7749 . . . . . . 7 2 # 0
76a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ℤ → 2 # 0)
81, 1, 5, 7divassapd 7542 . . . . 5 (𝑁 ℤ → ((𝑁 · 𝑁) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
94, 8eqtrd 2069 . . . 4 (𝑁 ℤ → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
109adantr 261 . . 3 ((𝑁 (𝑁 / 2) ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) = (𝑁 · (𝑁 / 2)))
11 zmulcl 8033 . . 3 ((𝑁 (𝑁 / 2) ℤ) → (𝑁 · (𝑁 / 2)) ℤ)
1210, 11eqeltrd 2111 . 2 ((𝑁 (𝑁 / 2) ℤ) → ((𝑁↑2) / 2) ℤ)
131adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → 𝑁 ℂ)
14 sqcl 8929 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ℂ → (𝑁↑2) ℂ)
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → (𝑁↑2) ℂ)
16 peano2cn 6905 . . . . . . . . . 10 ((𝑁↑2) ℂ → ((𝑁↑2) + 1) ℂ)
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((𝑁↑2) + 1) ℂ)
1817halfcld 7906 . . . . . . . 8 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ℂ)
1918, 13pncand 7079 . . . . . . 7 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑2) + 1) / 2))
20 binom21 8976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
2113, 20syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1))
22 peano2cn 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ℂ → (𝑁 + 1) ℂ)
2313, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → (𝑁 + 1) ℂ)
24 sqval 8926 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ℂ → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((𝑁 + 1)↑2) = ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)))
26 2cn 7726 . . . . . . . . . . . . . 14 2
27 mulcl 6766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 𝑁 ℂ) → (2 · 𝑁) ℂ)
2826, 13, 27sylancr 393 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → (2 · 𝑁) ℂ)
29 1cnd 6801 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → 1 ℂ)
3015, 28, 29add32d 6936 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → (((𝑁↑2) + (2 · 𝑁)) + 1) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
3121, 25, 303eqtr3d 2077 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) = (((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)))
3231oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2))
33 2cnd 7728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → 2 ℂ)
346a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → 2 # 0)
3523, 23, 33, 34divassapd 7542 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → (((𝑁 + 1) · (𝑁 + 1)) / 2) = ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)))
3617, 28, 33, 34divdirapd 7545 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)))
3713, 33, 34divcanap3d 7512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
3837oveq2d 5471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + ((2 · 𝑁) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
3936, 38eqtrd 2069 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) + (2 · 𝑁)) / 2) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
4032, 35, 393eqtr3d 2077 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁))
41 peano2z 8017 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ℤ → (𝑁 + 1) ℤ)
42 zmulcl 8033 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ℤ)
4341, 42sylan 267 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((𝑁 + 1) · ((𝑁 + 1) / 2)) ℤ)
4440, 43eqeltrrd 2112 . . . . . . . 8 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → ((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) ℤ)
45 simpl 102 . . . . . . . 8 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → 𝑁 ℤ)
4644, 45zsubcld 8101 . . . . . . 7 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → (((((𝑁↑2) + 1) / 2) + 𝑁) − 𝑁) ℤ)
4719, 46eqeltrrd 2112 . . . . . 6 ((𝑁 ((𝑁 + 1) / 2) ℤ) → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ℤ)
4847ex 108 . . . . 5 (𝑁 ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) ℤ → (((𝑁↑2) + 1) / 2) ℤ))
4948con3d 560 . . . 4 (𝑁 ℤ → (¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ℤ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
50 zsqcl 8937 . . . . 5 (𝑁 ℤ → (𝑁↑2) ℤ)
51 zeo2 8080 . . . . 5 ((𝑁↑2) ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ℤ))
5250, 51syl 14 . . . 4 (𝑁 ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ℤ ↔ ¬ (((𝑁↑2) + 1) / 2) ℤ))
53 zeo2 8080 . . . 4 (𝑁 ℤ → ((𝑁 / 2) ℤ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ℤ))
5449, 52, 533imtr4d 192 . . 3 (𝑁 ℤ → (((𝑁↑2) / 2) ℤ → (𝑁 / 2) ℤ))
5554imp 115 . 2 ((𝑁 ((𝑁↑2) / 2) ℤ) → (𝑁 / 2) ℤ)
5612, 55impbida 528 1 (𝑁 ℤ → ((𝑁 / 2) ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ℤ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cc 6669  0cc0 6671  1c1 6672   + caddc 6674   · cmul 6676  cmin 6939   # cap 7325   / cdiv 7393  2c2 7704  cz 7981  cexp 8868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-2 7713  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-iseq 8853  df-iexp 8869
This theorem is referenced by:  nnesq  8981
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