Theorem xrex 8756

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 7064	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 7015	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8692	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8694	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 3947	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 402	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4176	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2110	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ∪ cun 2915  {cpr 3376  ℝcr 6888  +∞cpnf 7057  -∞cmnf 7058  ℝ^*cxr 7059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064

This theorem is referenced by:  ixxval  8765  ixxf  8767  ixxex  8768