Theorem xrex 8526

Description: The set of extended reals exists. (Contributed by NM, 24-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrex	⊢ ℝ* ∈ V

Proof of Theorem xrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xr 6861	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		reex 6813	. . 3 ⊢ ℝ ∈ V
3		pnfxr 8462	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4		mnfxr 8464	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5		prexg 3938	. . . 4 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → {+∞, -∞} ∈ V)
6	3, 4, 5	mp2an 402	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ∈ V
7	2, 6	unex 4142	. 2 ⊢ (ℝ ∪ {+∞, -∞}) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2107	1 ⊢ ℝ* ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ∪ cun 2909  {cpr 3368  ℝcr 6710  +∞cpnf 6854  -∞cmnf 6855  ℝ^*cxr 6856

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861

This theorem is referenced by:  ixxval  8535  ixxf  8537  ixxex  8538