ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpsspw Structured version   GIF version

Theorem xpsspw 4393
Description: A cross product is included in the power of the power of the union of its arguments. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
xpsspw (A × B) ⊆ 𝒫 𝒫 (AB)

Proof of Theorem xpsspw
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4304 . . . 4 (z (A × B) → xy(z = ⟨x, y (x A y B)))
2 vex 2554 . . . . . . . 8 x V
3 vex 2554 . . . . . . . 8 y V
42, 3dfop 3539 . . . . . . 7 x, y⟩ = {{x}, {x, y}}
5 snssi 3499 . . . . . . . . . . . . 13 (x A → {x} ⊆ A)
6 ssun3 3102 . . . . . . . . . . . . 13 ({x} ⊆ A → {x} ⊆ (AB))
75, 6syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (x A → {x} ⊆ (AB))
87adantr 261 . . . . . . . . . . 11 ((x A y B) → {x} ⊆ (AB))
9 sseq1 2960 . . . . . . . . . . 11 (z = {x} → (z ⊆ (AB) ↔ {x} ⊆ (AB)))
108, 9syl5ibrcom 146 . . . . . . . . . 10 ((x A y B) → (z = {x} → z ⊆ (AB)))
11 df-pr 3374 . . . . . . . . . . . 12 {x, y} = ({x} ∪ {y})
12 snssi 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (y B → {y} ⊆ B)
13 ssun4 3103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({y} ⊆ B → {y} ⊆ (AB))
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (y B → {y} ⊆ (AB))
157, 14anim12i 321 . . . . . . . . . . . . 13 ((x A y B) → ({x} ⊆ (AB) {y} ⊆ (AB)))
16 unss 3111 . . . . . . . . . . . . 13 (({x} ⊆ (AB) {y} ⊆ (AB)) ↔ ({x} ∪ {y}) ⊆ (AB))
1715, 16sylib 127 . . . . . . . . . . . 12 ((x A y B) → ({x} ∪ {y}) ⊆ (AB))
1811, 17syl5eqss 2983 . . . . . . . . . . 11 ((x A y B) → {x, y} ⊆ (AB))
19 sseq1 2960 . . . . . . . . . . 11 (z = {x, y} → (z ⊆ (AB) ↔ {x, y} ⊆ (AB)))
2018, 19syl5ibrcom 146 . . . . . . . . . 10 ((x A y B) → (z = {x, y} → z ⊆ (AB)))
2110, 20jaod 636 . . . . . . . . 9 ((x A y B) → ((z = {x} z = {x, y}) → z ⊆ (AB)))
22 vex 2554 . . . . . . . . . 10 z V
2322elpr 3385 . . . . . . . . 9 (z {{x}, {x, y}} ↔ (z = {x} z = {x, y}))
2422elpw 3357 . . . . . . . . 9 (z 𝒫 (AB) ↔ z ⊆ (AB))
2521, 23, 243imtr4g 194 . . . . . . . 8 ((x A y B) → (z {{x}, {x, y}} → z 𝒫 (AB)))
2625ssrdv 2945 . . . . . . 7 ((x A y B) → {{x}, {x, y}} ⊆ 𝒫 (AB))
274, 26syl5eqss 2983 . . . . . 6 ((x A y B) → ⟨x, y⟩ ⊆ 𝒫 (AB))
28 sseq1 2960 . . . . . . 7 (z = ⟨x, y⟩ → (z ⊆ 𝒫 (AB) ↔ ⟨x, y⟩ ⊆ 𝒫 (AB)))
2928biimpar 281 . . . . . 6 ((z = ⟨x, yx, y⟩ ⊆ 𝒫 (AB)) → z ⊆ 𝒫 (AB))
3027, 29sylan2 270 . . . . 5 ((z = ⟨x, y (x A y B)) → z ⊆ 𝒫 (AB))
3130exlimivv 1773 . . . 4 (xy(z = ⟨x, y (x A y B)) → z ⊆ 𝒫 (AB))
321, 31syl 14 . . 3 (z (A × B) → z ⊆ 𝒫 (AB))
3322elpw 3357 . . 3 (z 𝒫 𝒫 (AB) ↔ z ⊆ 𝒫 (AB))
3432, 33sylibr 137 . 2 (z (A × B) → z 𝒫 𝒫 (AB))
3534ssriv 2943 1 (A × B) ⊆ 𝒫 𝒫 (AB)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wo 628   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  cun 2909  wss 2911  𝒫 cpw 3351  {csn 3367  {cpr 3368  cop 3370   × cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294
This theorem is referenced by:  unixpss  4394  xpexg  4395
  Copyright terms: Public domain W3C validator