Theorem xpmlem 4687

Description: The cross product of inhabited classes is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpmlem	⊢ ((∃x x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B) ↔ ∃z z ∈ (A × B))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem xpmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eeanv 1804	. . 3 ⊢ (∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B) ↔ (∃x x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B))
2		vex 2554	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
3		vex 2554	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
4	2, 3	opex 3957	. . . . 5 ⊢ ⟨x, y⟩ ∈ V
5		eleq1 2097	. . . . . 6 ⊢ (z = ⟨x, y⟩ → (z ∈ (A × B) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (A × B)))
6		opelxp 4317	. . . . . 6 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (A × B) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ B))
7	5, 6	syl6bb 185	. . . . 5 ⊢ (z = ⟨x, y⟩ → (z ∈ (A × B) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
8	4, 7	spcev 2641	. . . 4 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ∃z z ∈ (A × B))
9	8	exlimivv 1773	. . 3 ⊢ (∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B) → ∃z z ∈ (A × B))
10	1, 9	sylbir 125	. 2 ⊢ ((∃x x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B) → ∃z z ∈ (A × B))
11		elxp 4305	. . . . 5 ⊢ (z ∈ (A × B) ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
12		simpr 103	. . . . . 6 ⊢ ((z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) → (x ∈ A ∧ y ∈ B))
13	12	2eximi 1489	. . . . 5 ⊢ (∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) → ∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B))
14	11, 13	sylbi 114	. . . 4 ⊢ (z ∈ (A × B) → ∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B))
15	14	exlimiv 1486	. . 3 ⊢ (∃z z ∈ (A × B) → ∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B))
16	15, 1	sylib 127	. 2 ⊢ (∃z z ∈ (A × B) → (∃x x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B))
17	10, 16	impbii 117	1 ⊢ ((∃x x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B) ↔ ∃z z ∈ (A × B))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ⟨cop 3370   × cxp 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294

This theorem is referenced by:  xpm  4688