ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpmlem Structured version   GIF version

Theorem xpmlem 4671
Description: The cross product of inhabited classes is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
xpmlem ((x x A y y B) ↔ z z (A × B))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem xpmlem
StepHypRef Expression
1 eeanv 1789 . . 3 (xy(x A y B) ↔ (x x A y y B))
2 vex 2538 . . . . . 6 x V
3 vex 2538 . . . . . 6 y V
42, 3opex 3940 . . . . 5 x, y V
5 eleq1 2082 . . . . . 6 (z = ⟨x, y⟩ → (z (A × B) ↔ ⟨x, y (A × B)))
6 opelxp 4301 . . . . . 6 (⟨x, y (A × B) ↔ (x A y B))
75, 6syl6bb 185 . . . . 5 (z = ⟨x, y⟩ → (z (A × B) ↔ (x A y B)))
84, 7spcev 2624 . . . 4 ((x A y B) → z z (A × B))
98exlimivv 1758 . . 3 (xy(x A y B) → z z (A × B))
101, 9sylbir 125 . 2 ((x x A y y B) → z z (A × B))
11 elxp 4289 . . . . 5 (z (A × B) ↔ xy(z = ⟨x, y (x A y B)))
12 ax-ia2 100 . . . . . 6 ((z = ⟨x, y (x A y B)) → (x A y B))
13122eximi 1474 . . . . 5 (xy(z = ⟨x, y (x A y B)) → xy(x A y B))
1411, 13sylbi 114 . . . 4 (z (A × B) → xy(x A y B))
1514exlimiv 1471 . . 3 (z z (A × B) → xy(x A y B))
1615, 1sylib 127 . 2 (z z (A × B) → (x x A y y B))
1710, 16impbii 117 1 ((x x A y y B) ↔ z z (A × B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  cop 3353   × cxp 4270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-opab 3793  df-xp 4278
This theorem is referenced by:  xpm  4672
  Copyright terms: Public domain W3C validator