Theorem xpmlem 4671

Description: The cross product of inhabited classes is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpmlem	⊢ ((∃x x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B) ↔ ∃z z ∈ (A × B))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z

Proof of Theorem xpmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eeanv 1789	. . 3 ⊢ (∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B) ↔ (∃x x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B))
2		vex 2538	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
3		vex 2538	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
4	2, 3	opex 3940	. . . . 5 ⊢ ⟨x, y⟩ ∈ V
5		eleq1 2082	. . . . . 6 ⊢ (z = ⟨x, y⟩ → (z ∈ (A × B) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (A × B)))
6		opelxp 4301	. . . . . 6 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (A × B) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ B))
7	5, 6	syl6bb 185	. . . . 5 ⊢ (z = ⟨x, y⟩ → (z ∈ (A × B) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
8	4, 7	spcev 2624	. . . 4 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ∃z z ∈ (A × B))
9	8	exlimivv 1758	. . 3 ⊢ (∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B) → ∃z z ∈ (A × B))
10	1, 9	sylbir 125	. 2 ⊢ ((∃x x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B) → ∃z z ∈ (A × B))
11		elxp 4289	. . . . 5 ⊢ (z ∈ (A × B) ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
12		ax-ia2 100	. . . . . 6 ⊢ ((z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) → (x ∈ A ∧ y ∈ B))
13	12	2eximi 1474	. . . . 5 ⊢ (∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) → ∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B))
14	11, 13	sylbi 114	. . . 4 ⊢ (z ∈ (A × B) → ∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B))
15	14	exlimiv 1471	. . 3 ⊢ (∃z z ∈ (A × B) → ∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B))
16	15, 1	sylib 127	. 2 ⊢ (∃z z ∈ (A × B) → (∃x x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B))
17	10, 16	impbii 117	1 ⊢ ((∃x x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B) ↔ ∃z z ∈ (A × B))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1228  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  ⟨cop 3353   × cxp 4270

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-opab 3793  df-xp 4278

This theorem is referenced by:  xpm  4672