ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpiindim Structured version   GIF version

Theorem xpiindim 4400
Description: Distributive law for cross product over indexed intersection. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
xpiindim (y y A → (𝐶 × x A B) = x A (𝐶 × B))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,𝐶,y
Allowed substitution hints:   B(x,y)

Proof of Theorem xpiindim
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4374 . . . . . 6 Rel (𝐶 × B)
21rgenw 2354 . . . . 5 x A Rel (𝐶 × B)
3 eleq1 2082 . . . . . . 7 (x = y → (x Ay A))
43cbvexv 1777 . . . . . 6 (x x Ay y A)
5 r19.2m 3286 . . . . . 6 ((x x A x A Rel (𝐶 × B)) → x A Rel (𝐶 × B))
64, 5sylanbr 269 . . . . 5 ((y y A x A Rel (𝐶 × B)) → x A Rel (𝐶 × B))
72, 6mpan2 403 . . . 4 (y y Ax A Rel (𝐶 × B))
8 reliin 4386 . . . 4 (x A Rel (𝐶 × B) → Rel x A (𝐶 × B))
97, 8syl 14 . . 3 (y y A → Rel x A (𝐶 × B))
10 relxp 4374 . . 3 Rel (𝐶 × x A B)
119, 10jctil 295 . 2 (y y A → (Rel (𝐶 × x A B) Rel x A (𝐶 × B)))
12 r19.28mv 3293 . . . . . . 7 (x x A → (x A (w 𝐶 z B) ↔ (w 𝐶 x A z B)))
134, 12sylbir 125 . . . . . 6 (y y A → (x A (w 𝐶 z B) ↔ (w 𝐶 x A z B)))
1413bicomd 129 . . . . 5 (y y A → ((w 𝐶 x A z B) ↔ x A (w 𝐶 z B)))
15 vex 2538 . . . . . . 7 z V
16 eliin 3636 . . . . . . 7 (z V → (z x A Bx A z B))
1715, 16ax-mp 7 . . . . . 6 (z x A Bx A z B)
1817anbi2i 433 . . . . 5 ((w 𝐶 z x A B) ↔ (w 𝐶 x A z B))
19 opelxp 4301 . . . . . 6 (⟨w, z (𝐶 × B) ↔ (w 𝐶 z B))
2019ralbii 2308 . . . . 5 (x Aw, z (𝐶 × B) ↔ x A (w 𝐶 z B))
2114, 18, 203bitr4g 212 . . . 4 (y y A → ((w 𝐶 z x A B) ↔ x Aw, z (𝐶 × B)))
22 opelxp 4301 . . . 4 (⟨w, z (𝐶 × x A B) ↔ (w 𝐶 z x A B))
23 vex 2538 . . . . . 6 w V
2423, 15opex 3940 . . . . 5 w, z V
25 eliin 3636 . . . . 5 (⟨w, z V → (⟨w, z x A (𝐶 × B) ↔ x Aw, z (𝐶 × B)))
2624, 25ax-mp 7 . . . 4 (⟨w, z x A (𝐶 × B) ↔ x Aw, z (𝐶 × B))
2721, 22, 263bitr4g 212 . . 3 (y y A → (⟨w, z (𝐶 × x A B) ↔ ⟨w, z x A (𝐶 × B)))
2827eqrelrdv2 4366 . 2 (((Rel (𝐶 × x A B) Rel x A (𝐶 × B)) y y A) → (𝐶 × x A B) = x A (𝐶 × B))
2911, 28mpancom 401 1 (y y A → (𝐶 × x A B) = x A (𝐶 × B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  wral 2284  wrex 2285  Vcvv 2535  cop 3353   ciin 3632   × cxp 4270  Rel wrel 4277
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-iin 3634  df-opab 3793  df-xp 4278  df-rel 4279
This theorem is referenced by:  xpriindim  4401
  Copyright terms: Public domain W3C validator