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Theorem xltnegi 8748
Description: Forward direction of xltneg 8749. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltnegi ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)

Proof of Theorem xltnegi
StepHypRef Expression
1 elxr 8696 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 elxr 8696 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
3 ltneg 7457 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝐵 < -𝐴))
4 rexneg 8743 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5 rexneg 8743 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
64, 5breqan12rd 3780 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝐵 < -𝐴))
73, 6bitr4d 180 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
87biimpd 132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
9 xnegeq 8740 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -𝑒+∞)
10 xnegpnf 8741 . . . . . . . . . . 11 -𝑒+∞ = -∞
119, 10syl6eq 2088 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = +∞ → -𝑒𝐵 = -∞)
1211adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 = -∞)
13 renegcl 7272 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
145, 13eqeltrd 2114 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
15 mnflt 8704 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < -𝑒𝐴)
1716adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -∞ < -𝑒𝐴)
1812, 17eqbrtrd 3784 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
1918a1d 22 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
20 simpr 103 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → 𝐵 = -∞)
2120breq2d 3776 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵𝐴 < -∞))
22 rexr 7071 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 nltmnf 8709 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < -∞)
2524adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ 𝐴 < -∞)
2625pm2.21d 549 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < -∞ → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
2721, 26sylbid 139 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = -∞) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
288, 19, 273jaodan 1201 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
292, 28sylan2b 271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3029expimpd 345 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
31 simpl 102 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐴 = +∞)
3231breq1d 3774 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ +∞ < 𝐵))
33 pnfnlt 8708 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐵)
3433adantl 262 . . . . . . 7 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → ¬ +∞ < 𝐵)
3534pm2.21d 549 . . . . . 6 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (+∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3632, 35sylbid 139 . . . . 5 ((𝐴 = +∞ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
3736expimpd 345 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
38 breq1 3767 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (𝐴 < 𝐵 ↔ -∞ < 𝐵))
3938anbi2d 437 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵)))
40 renegcl 7272 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
414, 40eqeltrd 2114 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
4241adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ)
43 ltpnf 8702 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 < +∞)
4442, 43syl 14 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
4511adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 = -∞)
46 mnfltpnf 8706 . . . . . . . . 9 -∞ < +∞
4745, 46syl6eqbr 3801 . . . . . . . 8 ((𝐵 = +∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
48 breq2 3768 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 ↔ -∞ < -∞))
49 mnfxr 8694 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
50 nltmnf 8709 . . . . . . . . . . . 12 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
5149, 50ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 ¬ -∞ < -∞
5251pm2.21i 575 . . . . . . . . . 10 (-∞ < -∞ → -𝑒𝐵 < +∞)
5348, 52syl6bi 152 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → (-∞ < 𝐵 → -𝑒𝐵 < +∞))
5453imp 115 . . . . . . . 8 ((𝐵 = -∞ ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
5544, 47, 543jaoian 1200 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞) ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
562, 55sylanb 268 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < +∞)
57 xnegeq 8740 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
58 xnegmnf 8742 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
5957, 58syl6eq 2088 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
6059breq2d 3776 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → (-𝑒𝐵 < -𝑒𝐴 ↔ -𝑒𝐵 < +∞))
6156, 60syl5ibr 145 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
6239, 61sylbid 139 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
6330, 37, 623jaoi 1198 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
641, 63sylbi 114 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴))
65643impib 1102 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → -𝑒𝐵 < -𝑒𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  w3o 884  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393   class class class wbr 3764  cr 6888  +∞cpnf 7057  -∞cmnf 7058  *cxr 7059   < clt 7060  -cneg 7183  -𝑒cxne 8686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-sub 7184  df-neg 7185  df-xneg 8689
This theorem is referenced by:  xltneg  8749
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