ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xltnegi Structured version   GIF version

Theorem xltnegi 8518
Description: Forward direction of xltneg 8519. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltnegi ((A * B * A < B) → -𝑒B < -𝑒A)

Proof of Theorem xltnegi
StepHypRef Expression
1 elxr 8466 . . 3 (A * ↔ (A A = +∞ A = -∞))
2 elxr 8466 . . . . . 6 (B * ↔ (B B = +∞ B = -∞))
3 ltneg 7252 . . . . . . . . 9 ((A B ℝ) → (A < B ↔ -B < -A))
4 rexneg 8513 . . . . . . . . . 10 (B ℝ → -𝑒B = -B)
5 rexneg 8513 . . . . . . . . . 10 (A ℝ → -𝑒A = -A)
64, 5breqan12rd 3771 . . . . . . . . 9 ((A B ℝ) → (-𝑒B < -𝑒A ↔ -B < -A))
73, 6bitr4d 180 . . . . . . . 8 ((A B ℝ) → (A < B ↔ -𝑒B < -𝑒A))
87biimpd 132 . . . . . . 7 ((A B ℝ) → (A < B → -𝑒B < -𝑒A))
9 xnegeq 8510 . . . . . . . . . . 11 (B = +∞ → -𝑒B = -𝑒+∞)
10 xnegpnf 8511 . . . . . . . . . . 11 -𝑒+∞ = -∞
119, 10syl6eq 2085 . . . . . . . . . 10 (B = +∞ → -𝑒B = -∞)
1211adantl 262 . . . . . . . . 9 ((A B = +∞) → -𝑒B = -∞)
13 renegcl 7068 . . . . . . . . . . . 12 (A ℝ → -A ℝ)
145, 13eqeltrd 2111 . . . . . . . . . . 11 (A ℝ → -𝑒A ℝ)
15 mnflt 8474 . . . . . . . . . . 11 (-𝑒A ℝ → -∞ < -𝑒A)
1614, 15syl 14 . . . . . . . . . 10 (A ℝ → -∞ < -𝑒A)
1716adantr 261 . . . . . . . . 9 ((A B = +∞) → -∞ < -𝑒A)
1812, 17eqbrtrd 3775 . . . . . . . 8 ((A B = +∞) → -𝑒B < -𝑒A)
1918a1d 22 . . . . . . 7 ((A B = +∞) → (A < B → -𝑒B < -𝑒A))
20 simpr 103 . . . . . . . . 9 ((A B = -∞) → B = -∞)
2120breq2d 3767 . . . . . . . 8 ((A B = -∞) → (A < BA < -∞))
22 rexr 6868 . . . . . . . . . . 11 (A ℝ → A *)
23 nltmnf 8479 . . . . . . . . . . 11 (A * → ¬ A < -∞)
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . 10 (A ℝ → ¬ A < -∞)
2524adantr 261 . . . . . . . . 9 ((A B = -∞) → ¬ A < -∞)
2625pm2.21d 549 . . . . . . . 8 ((A B = -∞) → (A < -∞ → -𝑒B < -𝑒A))
2721, 26sylbid 139 . . . . . . 7 ((A B = -∞) → (A < B → -𝑒B < -𝑒A))
288, 19, 273jaodan 1200 . . . . . 6 ((A (B B = +∞ B = -∞)) → (A < B → -𝑒B < -𝑒A))
292, 28sylan2b 271 . . . . 5 ((A B *) → (A < B → -𝑒B < -𝑒A))
3029expimpd 345 . . . 4 (A ℝ → ((B * A < B) → -𝑒B < -𝑒A))
31 simpl 102 . . . . . . 7 ((A = +∞ B *) → A = +∞)
3231breq1d 3765 . . . . . 6 ((A = +∞ B *) → (A < B ↔ +∞ < B))
33 pnfnlt 8478 . . . . . . . 8 (B * → ¬ +∞ < B)
3433adantl 262 . . . . . . 7 ((A = +∞ B *) → ¬ +∞ < B)
3534pm2.21d 549 . . . . . 6 ((A = +∞ B *) → (+∞ < B → -𝑒B < -𝑒A))
3632, 35sylbid 139 . . . . 5 ((A = +∞ B *) → (A < B → -𝑒B < -𝑒A))
3736expimpd 345 . . . 4 (A = +∞ → ((B * A < B) → -𝑒B < -𝑒A))
38 breq1 3758 . . . . . 6 (A = -∞ → (A < B ↔ -∞ < B))
3938anbi2d 437 . . . . 5 (A = -∞ → ((B * A < B) ↔ (B * -∞ < B)))
40 renegcl 7068 . . . . . . . . . . 11 (B ℝ → -B ℝ)
414, 40eqeltrd 2111 . . . . . . . . . 10 (B ℝ → -𝑒B ℝ)
4241adantr 261 . . . . . . . . 9 ((B -∞ < B) → -𝑒B ℝ)
43 ltpnf 8472 . . . . . . . . 9 (-𝑒B ℝ → -𝑒B < +∞)
4442, 43syl 14 . . . . . . . 8 ((B -∞ < B) → -𝑒B < +∞)
4511adantr 261 . . . . . . . . 9 ((B = +∞ -∞ < B) → -𝑒B = -∞)
46 mnfltpnf 8476 . . . . . . . . 9 -∞ < +∞
4745, 46syl6eqbr 3792 . . . . . . . 8 ((B = +∞ -∞ < B) → -𝑒B < +∞)
48 breq2 3759 . . . . . . . . . 10 (B = -∞ → (-∞ < B ↔ -∞ < -∞))
49 mnfxr 8464 . . . . . . . . . . . 12 -∞ *
50 nltmnf 8479 . . . . . . . . . . . 12 (-∞ * → ¬ -∞ < -∞)
5149, 50ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 ¬ -∞ < -∞
5251pm2.21i 574 . . . . . . . . . 10 (-∞ < -∞ → -𝑒B < +∞)
5348, 52syl6bi 152 . . . . . . . . 9 (B = -∞ → (-∞ < B → -𝑒B < +∞))
5453imp 115 . . . . . . . 8 ((B = -∞ -∞ < B) → -𝑒B < +∞)
5544, 47, 543jaoian 1199 . . . . . . 7 (((B B = +∞ B = -∞) -∞ < B) → -𝑒B < +∞)
562, 55sylanb 268 . . . . . 6 ((B * -∞ < B) → -𝑒B < +∞)
57 xnegeq 8510 . . . . . . . 8 (A = -∞ → -𝑒A = -𝑒-∞)
58 xnegmnf 8512 . . . . . . . 8 -𝑒-∞ = +∞
5957, 58syl6eq 2085 . . . . . . 7 (A = -∞ → -𝑒A = +∞)
6059breq2d 3767 . . . . . 6 (A = -∞ → (-𝑒B < -𝑒A ↔ -𝑒B < +∞))
6156, 60syl5ibr 145 . . . . 5 (A = -∞ → ((B * -∞ < B) → -𝑒B < -𝑒A))
6239, 61sylbid 139 . . . 4 (A = -∞ → ((B * A < B) → -𝑒B < -𝑒A))
6330, 37, 623jaoi 1197 . . 3 ((A A = +∞ A = -∞) → ((B * A < B) → -𝑒B < -𝑒A))
641, 63sylbi 114 . 2 (A * → ((B * A < B) → -𝑒B < -𝑒A))
65643impib 1101 1 ((A * B * A < B) → -𝑒B < -𝑒A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97   w3o 883   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  cr 6710  +∞cpnf 6854  -∞cmnf 6855  *cxr 6856   < clt 6857  -cneg 6980  -𝑒cxne 8456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-sub 6981  df-neg 6982  df-xneg 8459
This theorem is referenced by:  xltneg  8519
  Copyright terms: Public domain W3C validator