Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzind4s Structured version   GIF version

Theorem uzind4s 8309
 Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀, using explicit substitution. The hypotheses are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 4-Nov-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4s.1 (𝑀 ℤ → [𝑀 / 𝑘]φ)
uzind4s.2 (𝑘 (ℤ𝑀) → (φ[(𝑘 + 1) / 𝑘]φ))
Assertion
Ref Expression
uzind4s (𝑁 (ℤ𝑀) → [𝑁 / 𝑘]φ)
Distinct variable group:   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   φ(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4s
Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsbcq2 2761 . 2 (𝑗 = 𝑀 → ([𝑗 / 𝑘]φ[𝑀 / 𝑘]φ))
2 sbequ 1718 . 2 (𝑗 = 𝑚 → ([𝑗 / 𝑘]φ ↔ [𝑚 / 𝑘]φ))
3 dfsbcq2 2761 . 2 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ([𝑗 / 𝑘]φ[(𝑚 + 1) / 𝑘]φ))
4 dfsbcq2 2761 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ([𝑗 / 𝑘]φ[𝑁 / 𝑘]φ))
5 uzind4s.1 . 2 (𝑀 ℤ → [𝑀 / 𝑘]φ)
6 nfv 1418 . . . 4 𝑘 𝑚 (ℤ𝑀)
7 nfs1v 1812 . . . . 5 𝑘[𝑚 / 𝑘]φ
8 nfsbc1v 2776 . . . . 5 𝑘[(𝑚 + 1) / 𝑘]φ
97, 8nfim 1461 . . . 4 𝑘([𝑚 / 𝑘]φ[(𝑚 + 1) / 𝑘]φ)
106, 9nfim 1461 . . 3 𝑘(𝑚 (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]φ[(𝑚 + 1) / 𝑘]φ))
11 eleq1 2097 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 (ℤ𝑀) ↔ 𝑚 (ℤ𝑀)))
12 sbequ12 1651 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (φ ↔ [𝑚 / 𝑘]φ))
13 oveq1 5462 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 + 1) = (𝑚 + 1))
1413sbceq1d 2763 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ([(𝑘 + 1) / 𝑘]φ[(𝑚 + 1) / 𝑘]φ))
1512, 14imbi12d 223 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → ((φ[(𝑘 + 1) / 𝑘]φ) ↔ ([𝑚 / 𝑘]φ[(𝑚 + 1) / 𝑘]φ)))
1611, 15imbi12d 223 . . 3 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 (ℤ𝑀) → (φ[(𝑘 + 1) / 𝑘]φ)) ↔ (𝑚 (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]φ[(𝑚 + 1) / 𝑘]φ))))
17 uzind4s.2 . . 3 (𝑘 (ℤ𝑀) → (φ[(𝑘 + 1) / 𝑘]φ))
1810, 16, 17chvar 1637 . 2 (𝑚 (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]φ[(𝑚 + 1) / 𝑘]φ))
191, 2, 3, 4, 5, 18uzind4 8307 1 (𝑁 (ℤ𝑀) → [𝑁 / 𝑘]φ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1390  [wsb 1642  [wsbc 2758  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1c1 6712   + caddc 6714  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator