Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzind4s GIF version

Theorem uzind4s 8533
 Description: Induction on the upper set of integers that starts at an integer 𝑀, using explicit substitution. The hypotheses are the basis and the induction step. (Contributed by NM, 4-Nov-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
uzind4s.1 (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
uzind4s.2 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))
Assertion
Ref Expression
uzind4s (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)
Distinct variable group:   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzind4s
Dummy variables 𝑚 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsbcq2 2767 . 2 (𝑗 = 𝑀 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑[𝑀 / 𝑘]𝜑))
2 sbequ 1721 . 2 (𝑗 = 𝑚 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
3 dfsbcq2 2767 . 2 (𝑗 = (𝑚 + 1) → ([𝑗 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
4 dfsbcq2 2767 . 2 (𝑗 = 𝑁 → ([𝑗 / 𝑘]𝜑[𝑁 / 𝑘]𝜑))
5 uzind4s.1 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → [𝑀 / 𝑘]𝜑)
6 nfv 1421 . . . 4 𝑘 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)
7 nfs1v 1815 . . . . 5 𝑘[𝑚 / 𝑘]𝜑
8 nfsbc1v 2782 . . . . 5 𝑘[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑
97, 8nfim 1464 . . . 4 𝑘([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)
106, 9nfim 1464 . . 3 𝑘(𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
11 eleq1 2100 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)))
12 sbequ12 1654 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝜑 ↔ [𝑚 / 𝑘]𝜑))
13 oveq1 5519 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑘 + 1) = (𝑚 + 1))
1413sbceq1d 2769 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → ([(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
1512, 14imbi12d 223 . . . 4 (𝑘 = 𝑚 → ((𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑) ↔ ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑)))
1611, 15imbi12d 223 . . 3 (𝑘 = 𝑚 → ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑)) ↔ (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))))
17 uzind4s.2 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑[(𝑘 + 1) / 𝑘]𝜑))
1810, 16, 17chvar 1640 . 2 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ([𝑚 / 𝑘]𝜑[(𝑚 + 1) / 𝑘]𝜑))
191, 2, 3, 4, 5, 18uzind4 8531 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → [𝑁 / 𝑘]𝜑)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1393  [wsb 1645  [wsbc 2764  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  1c1 6890   + caddc 6892  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator