Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzin2 GIF version

Theorem uzin2 9586
 Description: The upper integers are closed under intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzin2 ((𝐴 ∈ ran ℤ𝐵 ∈ ran ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ran ℤ)

Proof of Theorem uzin2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 8476 . . . 4 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 ffn 5046 . . . 4 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
31, 2ax-mp 7 . . 3 Fn ℤ
4 fvelrnb 5221 . . 3 (ℤ Fn ℤ → (𝐴 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = 𝐴))
53, 4ax-mp 7 . 2 (𝐴 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (ℤ𝑥) = 𝐴)
6 fvelrnb 5221 . . 3 (ℤ Fn ℤ → (𝐵 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ𝑦) = 𝐵))
73, 6ax-mp 7 . 2 (𝐵 ∈ ran ℤ ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (ℤ𝑦) = 𝐵)
8 ineq1 3131 . . 3 ((ℤ𝑥) = 𝐴 → ((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) = (𝐴 ∩ (ℤ𝑦)))
98eleq1d 2106 . 2 ((ℤ𝑥) = 𝐴 → (((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ ↔ (𝐴 ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ))
10 ineq2 3132 . . 3 ((ℤ𝑦) = 𝐵 → (𝐴 ∩ (ℤ𝑦)) = (𝐴𝐵))
1110eleq1d 2106 . 2 ((ℤ𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ ↔ (𝐴𝐵) ∈ ran ℤ))
12 uzin 8505 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) = (ℤ‘if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥)))
13 simpr 103 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
14 simpl 102 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
15 zdcle 8317 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → DECID 𝑥𝑦)
1613, 14, 15ifcldcd 3358 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥) ∈ ℤ)
17 fnfvelrn 5299 . . . 4 ((ℤ Fn ℤ ∧ if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥) ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥)) ∈ ran ℤ)
183, 16, 17sylancr 393 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (ℤ‘if(𝑥𝑦, 𝑦, 𝑥)) ∈ ran ℤ)
1912, 18eqeltrd 2114 . 2 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℤ𝑥) ∩ (ℤ𝑦)) ∈ ran ℤ)
205, 7, 9, 11, 192gencl 2587 1 ((𝐴 ∈ ran ℤ𝐵 ∈ ran ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ran ℤ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307   ∩ cin 2916  ifcif 3331  𝒫 cpw 3359   class class class wbr 3764  ran crn 4346   Fn wfn 4897  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902   ≤ cle 7061  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474 This theorem is referenced by:  rexanuz  9587
 Copyright terms: Public domain W3C validator