Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uzaddcl GIF version

 Description: Addition closure law for an upper set of integers. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
uzaddcl ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀))

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 0))
21eleq1d 2106 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀)))
32imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀))))
4 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝑘))
54eleq1d 2106 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)))
65imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀))))
7 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
87eleq1d 2106 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀)))
98imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))))
10 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → (𝑁 + 𝑗) = (𝑁 + 𝐾))
1110eleq1d 2106 . . . 4 (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀)))
1211imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = 𝐾 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑗) ∈ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀))))
13 eluzelcn 8484 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
1413addid1d 7162 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 0) = 𝑁)
1514eleq1d 2106 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
1615ibir 166 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 0) ∈ (ℤ𝑀))
17 nn0cn 8191 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
18 ax-1cn 6977 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
19 addass 7011 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
2018, 19mp3an3 1221 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
2113, 17, 20syl2anr 274 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
2221adantr 261 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) = (𝑁 + (𝑘 + 1)))
23 peano2uz 8526 . . . . . . 7 ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2423adantl 262 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑁 + 𝑘) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2522, 24eqeltrrd 2115 . . . . 5 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))
2625exp31 346 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))))
2726a2d 23 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝑘) ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + (𝑘 + 1)) ∈ (ℤ𝑀))))
283, 6, 9, 12, 16, 27nn0ind 8352 . 2 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀)))
2928impcom 116 1 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892  ℕ0cn0 8181  ℤ≥cuz 8473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474 This theorem is referenced by:  elfz0add  8979  zpnn0elfzo  9063
 Copyright terms: Public domain W3C validator