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Theorem unopab 3827
Description: Union of two ordered pair class abstractions. (Contributed by NM, 30-Sep-2002.)
Assertion
Ref Expression
unopab ({⟨x, y⟩ ∣ φ} ∪ {⟨x, y⟩ ∣ ψ}) = {⟨x, y⟩ ∣ (φ ψ)}

Proof of Theorem unopab
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unab 3198 . . 3 ({zxy(z = ⟨x, y φ)} ∪ {zxy(z = ⟨x, y ψ)}) = {z ∣ (xy(z = ⟨x, y φ) xy(z = ⟨x, y ψ))}
2 19.43 1516 . . . . 5 (x(y(z = ⟨x, y φ) y(z = ⟨x, y ψ)) ↔ (xy(z = ⟨x, y φ) xy(z = ⟨x, y ψ)))
3 andi 730 . . . . . . . 8 ((z = ⟨x, y (φ ψ)) ↔ ((z = ⟨x, y φ) (z = ⟨x, y ψ)))
43exbii 1493 . . . . . . 7 (y(z = ⟨x, y (φ ψ)) ↔ y((z = ⟨x, y φ) (z = ⟨x, y ψ)))
5 19.43 1516 . . . . . . 7 (y((z = ⟨x, y φ) (z = ⟨x, y ψ)) ↔ (y(z = ⟨x, y φ) y(z = ⟨x, y ψ)))
64, 5bitr2i 174 . . . . . 6 ((y(z = ⟨x, y φ) y(z = ⟨x, y ψ)) ↔ y(z = ⟨x, y (φ ψ)))
76exbii 1493 . . . . 5 (x(y(z = ⟨x, y φ) y(z = ⟨x, y ψ)) ↔ xy(z = ⟨x, y (φ ψ)))
82, 7bitr3i 175 . . . 4 ((xy(z = ⟨x, y φ) xy(z = ⟨x, y ψ)) ↔ xy(z = ⟨x, y (φ ψ)))
98abbii 2150 . . 3 {z ∣ (xy(z = ⟨x, y φ) xy(z = ⟨x, y ψ))} = {zxy(z = ⟨x, y (φ ψ))}
101, 9eqtri 2057 . 2 ({zxy(z = ⟨x, y φ)} ∪ {zxy(z = ⟨x, y ψ)}) = {zxy(z = ⟨x, y (φ ψ))}
11 df-opab 3810 . . 3 {⟨x, y⟩ ∣ φ} = {zxy(z = ⟨x, y φ)}
12 df-opab 3810 . . 3 {⟨x, y⟩ ∣ ψ} = {zxy(z = ⟨x, y ψ)}
1311, 12uneq12i 3089 . 2 ({⟨x, y⟩ ∣ φ} ∪ {⟨x, y⟩ ∣ ψ}) = ({zxy(z = ⟨x, y φ)} ∪ {zxy(z = ⟨x, y ψ)})
14 df-opab 3810 . 2 {⟨x, y⟩ ∣ (φ ψ)} = {zxy(z = ⟨x, y (φ ψ))}
1510, 13, 143eqtr4i 2067 1 ({⟨x, y⟩ ∣ φ} ∪ {⟨x, y⟩ ∣ ψ}) = {⟨x, y⟩ ∣ (φ ψ)}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wo 628   = wceq 1242  wex 1378  {cab 2023  cun 2909  cop 3370  {copab 3808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-opab 3810
This theorem is referenced by:  xpundi  4339  xpundir  4340  cnvun  4672  coundi  4765  coundir  4766  mptun  4972
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