ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unirnioo GIF version

Theorem unirnioo 8842
Description: The union of the range of the open interval function. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
unirnioo ℝ = ran (,)

Proof of Theorem unirnioo
StepHypRef Expression
1 ioomax 8817 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
2 ioof 8840 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 5046 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
42, 3ax-mp 7 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
5 mnfxr 8694 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
6 pnfxr 8692 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
7 fnovrn 5648 . . . . 5 (((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ -∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
84, 5, 6, 7mp3an 1232 . . . 4 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
91, 8eqeltrri 2111 . . 3 ℝ ∈ ran (,)
10 elssuni 3608 . . 3 (ℝ ∈ ran (,) → ℝ ⊆ ran (,))
119, 10ax-mp 7 . 2 ℝ ⊆ ran (,)
12 frn 5052 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ)
132, 12ax-mp 7 . . 3 ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ
14 sspwuni 3739 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ran (,) ⊆ ℝ)
1513, 14mpbi 133 . 2 ran (,) ⊆ ℝ
1611, 15eqssi 2961 1 ℝ = ran (,)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1243  wcel 1393  wss 2917  𝒫 cpw 3359   cuni 3580   × cxp 4343  ran crn 4346   Fn wfn 4897  wf 4898  (class class class)co 5512  cr 6888  +∞cpnf 7057  -∞cmnf 7058  *cxr 7059  (,)cioo 8757
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-ioo 8761
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator