Theorem uniex2 4121

Description: The Axiom of Union using the standard abbreviation for union. Given any set x, its union y exists. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
uniex2	⊢ ∃y y = ∪ x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfun 4119	. . . 4 ⊢ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y)
2		eluni 3556	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ∪ x ↔ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x))
3	2	imbi1i 227	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ ∪ x → z ∈ y) ↔ (∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y))
4	3	albii 1339	. . . . 5 ⊢ (∀z(z ∈ ∪ x → z ∈ y) ↔ ∀z(∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y))
5	4	exbii 1480	. . . 4 ⊢ (∃y∀z(z ∈ ∪ x → z ∈ y) ↔ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y))
6	1, 5	mpbir 134	. . 3 ⊢ ∃y∀z(z ∈ ∪ x → z ∈ y)
7	6	bm1.3ii 3851	. 2 ⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ z ∈ ∪ x)
8		dfcleq 2017	. . 3 ⊢ (y = ∪ x ↔ ∀z(z ∈ y ↔ z ∈ ∪ x))
9	8	exbii 1480	. 2 ⊢ (∃y y = ∪ x ↔ ∃y∀z(z ∈ y ↔ z ∈ ∪ x))
10	7, 9	mpbir 134	1 ⊢ ∃y y = ∪ x

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1226   = wceq 1228  ∃wex 1363   ∈ wcel 1375  ∪ cuni 3553

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1364  ax-ie2 1365  ax-8 1377  ax-10 1378  ax-11 1379  ax-i12 1380  ax-bnd 1381  ax-4 1382  ax-13 1386  ax-14 1387  ax-17 1401  ax-i9 1405  ax-ial 1410  ax-i5r 1411  ax-ext 2005  ax-sep 3848  ax-un 4118

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1629  df-clab 2010  df-cleq 2016  df-clel 2019  df-nfc 2150  df-v 2536  df-uni 3554

This theorem is referenced by:  uniex  4122