ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposexg Structured version   GIF version

Theorem tposexg 5814
Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposexg (𝐹 𝑉 → tpos 𝐹 V)

Proof of Theorem tposexg
StepHypRef Expression
1 tposssxp 5805 . 2 tpos 𝐹 ⊆ ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹)
2 dmexg 4539 . . . . 5 (𝐹 𝑉 → dom 𝐹 V)
3 cnvexg 4798 . . . . 5 (dom 𝐹 V → dom 𝐹 V)
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐹 𝑉dom 𝐹 V)
5 p0ex 3930 . . . 4 {∅} V
6 unexg 4144 . . . 4 ((dom 𝐹 V {∅} V) → (dom 𝐹 ∪ {∅}) V)
74, 5, 6sylancl 392 . . 3 (𝐹 𝑉 → (dom 𝐹 ∪ {∅}) V)
8 rnexg 4540 . . 3 (𝐹 𝑉 → ran 𝐹 V)
9 xpexg 4395 . . 3 (((dom 𝐹 ∪ {∅}) V ran 𝐹 V) → ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) V)
107, 8, 9syl2anc 391 . 2 (𝐹 𝑉 → ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) V)
11 ssexg 3887 . 2 ((tpos 𝐹 ⊆ ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) V) → tpos 𝐹 V)
121, 10, 11sylancr 393 1 (𝐹 𝑉 → tpos 𝐹 V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wcel 1390  Vcvv 2551  cun 2909  wss 2911  c0 3218  {csn 3367   × cxp 4286  ccnv 4287  dom cdm 4288  ran crn 4289  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  tposex  5834
  Copyright terms: Public domain W3C validator