ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposexg Structured version   GIF version

Theorem tposexg 5795
Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposexg (𝐹 𝑉 → tpos 𝐹 V)

Proof of Theorem tposexg
StepHypRef Expression
1 tposssxp 5786 . 2 tpos 𝐹 ⊆ ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹)
2 dmexg 4523 . . . . 5 (𝐹 𝑉 → dom 𝐹 V)
3 cnvexg 4782 . . . . 5 (dom 𝐹 V → dom 𝐹 V)
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐹 𝑉dom 𝐹 V)
5 p0ex 3913 . . . 4 {∅} V
6 unexg 4128 . . . 4 ((dom 𝐹 V {∅} V) → (dom 𝐹 ∪ {∅}) V)
74, 5, 6sylancl 394 . . 3 (𝐹 𝑉 → (dom 𝐹 ∪ {∅}) V)
8 rnexg 4524 . . 3 (𝐹 𝑉 → ran 𝐹 V)
9 xpexg 4379 . . 3 (((dom 𝐹 ∪ {∅}) V ran 𝐹 V) → ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) V)
107, 8, 9syl2anc 393 . 2 (𝐹 𝑉 → ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) V)
11 ssexg 3870 . 2 ((tpos 𝐹 ⊆ ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) ((dom 𝐹 ∪ {∅}) × ran 𝐹) V) → tpos 𝐹 V)
121, 10, 11sylancr 395 1 (𝐹 𝑉 → tpos 𝐹 V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wcel 1374  Vcvv 2535  cun 2892  wss 2894  c0 3201  {csn 3350   × cxp 4270  ccnv 4271  dom cdm 4272  ran crn 4273  tpos ctpos 5781
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-rab 2293  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285  df-tpos 5782
This theorem is referenced by:  tposex  5815
  Copyright terms: Public domain W3C validator